线性代数概论

2024-02-292025-12-24 math / note 35 minutes read (About 5216 words)

阅读前提示

本文绝大多数理论来源为山东大学数学学院主编的《线性代数》第三版教材．
出于复习需要，本文仅收录较为重要的，或容易遗忘的性质、定理与公式等．
在介绍知识点时，本文默认所有的矩阵运算均有意义．
为行文方便，若无特殊说明，性质、定理与公式等仅从行的角度叙述．
若存在错误或表达不规范之处，请通过邮箱联系加以指正．

向量与向量组

基本定义与运算

由 $n$ 个数 $a _1,\,a _2,\,\cdots,\,a _n$ 组成的有序数组 $\boldsymbol{\alpha}=(a _1,a _2,\cdots,a _n)$ 称为 $n$ 维向量，其中每一个数称为其分量．

向量分为行向量与列向量两类．

向量的加法、数乘和与 $0$ 的运算等与直观感知一致，在此不再赘述．

向量间的线性表示

设 $\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n,\,\boldsymbol{\beta}$ 均为 $m$ 维向量，记向量组 $\boldsymbol{A}:\,\{\,\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n\,\}$，若存在一组数 $k _1,\,k _2,\,\cdots,\,k _n$，使得

$$ \boldsymbol{\beta}=k _1\boldsymbol{\alpha} _1+k _2\boldsymbol{\alpha} _2+\cdots+k _n\boldsymbol{\alpha} _n $$

成立，则称 $\boldsymbol{\beta}$ 可由向量组 $\boldsymbol{A}$ 线性表示，或称 $\boldsymbol{\beta}$ 是向量组 $\boldsymbol{A}$ 的线性组合．

注意事项

线性表示的定义允许出现 $k _1=k _2=\cdots=k _n=0$ 的情况．

线性表示的性质如下所示．

零向量可由任意一个向量组线性表示．
向量组中的任意一个向量均可由该向量组线性表示．
任意一个 $n$ 维向量均可由向量组 $$ \boldsymbol{e} _1=(1,0,\cdots,0),\,\boldsymbol{e} _2=(0,1,\cdots,0),\,\boldsymbol{e} _n=(0,0,\cdots,1) $$

线性表示．

向量组的线性相关性

设有 $n$ 个 $m$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n$，若存在一组不全为 $0$ 的数 $k _1,\,k _2,\,\cdots,\,k _n$，使得

$$ k _1\boldsymbol{\alpha} _1+k _2\boldsymbol{\alpha} _2+\cdots+k _n\boldsymbol{\alpha} _n=\boldsymbol{0} $$

成立，则称向量 $\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n$ 是线性相关的，否则称为是线性无关的．

线性相关的性质如下所示．

若向量组中存在两个向量的对应分量成比例，则该向量组是线性相关的．
只含有一个零向量的向量组是线性相关的，即 $k\boldsymbol{0}\equiv\boldsymbol{0}$，其中 $k\neq 0$．
推论
- 只含有一个非零向量的向量组是线性无关的，即 $k\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0},\,\boldsymbol{\alpha}\neq 0\Rightarrow k\equiv 0$．
- 只含有一个向量的向量组 $\{\,\boldsymbol{\alpha}\,\}$ 线性相关的充要条件为 $\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}$．
含有零向量的向量组必定线性相关．
若向量组中部分向量线性相关，则该向量组是线性相关的．
推论
- 若向量组是线性相关的，则新增任意个向量后，所得到的向量组仍是线性相关的．
- 若向量组是线性无关的，则其所有子向量组均是线性无关的．
若向量组是线性无关的，则将其中每个向量升维后所得到的向量组仍是线性无关的．

注意事项

每个向量的升维分量可以互不相等．

推论

若向量组是线性相关的，则将其中每个向量降维后所得到的向量组仍是线性相关的．
$n$ 个 $n$ 维向量线性无关的充要条件为其组成的行列式的值 $D\neq 0$．

提示

本质是克莱姆法则的应用．
推论
- $n$ 个 $n$ 维向量线性相关的充要条件为其组成的行列式的值 $D=0$．
- 含有 $n$ 个单位向量的向量组 $\{\,\boldsymbol{\varepsilon} _1,\,\boldsymbol{\varepsilon} _2,\,\cdots,\boldsymbol{\varepsilon} _n\,\}$ 是线性无关的．

涉及线性相关的部分定理如下所示．

向量组线性相关的充要条件为该向量组至少存在一个可由其余向量线性表示的向量．
若向量组 $\boldsymbol{A}:\,\{\,\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _s\,\}$ 线性无关，而向量组 $\boldsymbol{B}:\,\boldsymbol{A}\cup\{\,\boldsymbol{\beta}\,\}$ 线性相关，则 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{A}$ 唯一线性表示．
若向量 $\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _s$ 线性无关，且可由向量 $\boldsymbol{\beta} _1,\,\boldsymbol{\beta} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\beta} _t$ 线性表示，则 $s\leqslant t$．
推论
- 若 $\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _s$ 可由 $\boldsymbol{\beta} _1,\,\boldsymbol{\beta} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\beta} _t$ 线性表示，且 $s>t$，则 $\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _s$ 线性相关．
- 若 $n>m$，则 $n$ 个 $m$ 维向量线性相关．（此推论将在“齐次线性方程组的解情况”一节中进行解释）
- 两个等价的、线性无关的向量组所含向量个数相同．

向量组的等价关系

设有两个同维的向量组 $\boldsymbol{A}:\,\{\,\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _m\,\}$ 和 $\boldsymbol{B}:\,\{\,\boldsymbol{\beta} _1,\,\boldsymbol{\beta} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\beta} _n\,\}$，若

向量组 $\boldsymbol{A}$ 中的每一个向量 $\boldsymbol{\alpha} _i$ 均可由向量组 $\boldsymbol{B}$ 线性表示；
向量组 $\boldsymbol{B}$ 中的每一个向量 $\boldsymbol{\beta} _i$ 均可由向量组 $\boldsymbol{A}$ 线性表示．

即向量组 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 可以相互线性表示，则称向量组 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价，记为 $\boldsymbol{A}\cong\boldsymbol{B}$．

向量组等价的性质如下所示．

反身性：$\boldsymbol{A}\cong\boldsymbol{A}$．
对称性：$\boldsymbol{A}\cong\boldsymbol{B}\Rightarrow\boldsymbol{B}\cong\boldsymbol{A}$．
传递性：$\boldsymbol{A}\cong\boldsymbol{B},\,\boldsymbol{B}\cong\boldsymbol{C}\Rightarrow\boldsymbol{A}\cong\boldsymbol{C}$．

向量组的秩

设在向量组 $\boldsymbol{A}:\,\{\,\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n\,\}$ 中，子向量组 $\boldsymbol{A} _t:\,\{\,\boldsymbol{\alpha} _{i _1},\,\boldsymbol{\alpha} _{i _2},\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _{i _t}\,\}$ 满足：

该子向量组线性无关；
是最长的线性无关的子向量组；
向量组 $\boldsymbol{A}$ 的其余向量均可由 $\boldsymbol{A} _t$ 线性表示．

则称 $\boldsymbol{A} _t$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的一个极大线性无关组，简称为极大无关组．

注意事项

向量组的极大无关组一般不唯一．
全为零向量的向量组没有极大无关组．
一个线性无关的向量组的极大无关组是其本身．
任意一个向量组与其极大无关组等价．

若一个向量组拥有两个极大无关组，则二者所含向量个数相同，依据为：

任意一个向量组与其极大无关组等价；
两个等价的、线性无关的向量组所含向量个数相同．

因此，我们称向量组 $\{\,\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n\,\}$ 的极大无关组所含向量的个数为该向量组的秩，记为 $r(\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n)$．

向量组的秩的性质如下所示．

对于 $m$ 维向量组 $\{\,\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n\,\}$，有 $0\leqslant r(\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n)\leqslant\min(m,n)$．

提示

若 $n>m$，则 $n$ 个 $m$ 维向量线性相关．

注意事项

为保证极大无关组的线性无关性，必须保证向量组的向量个数小于等于向量组的维数．
向量组 $\{\,\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n\,\}$ 线性无关的充要条件为 $r(\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n)=n$．
向量组 $\{\,\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n\,\}$ 线性相关的充要条件为 $r(\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n)<n$．
若向量 $\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _s$ 可由向量 $\boldsymbol{\beta} _1,\,\boldsymbol{\beta} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\beta} _t$ 线性表示，则 $r(\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _s)\leqslant r(\boldsymbol{\beta} _1,\,\boldsymbol{\beta} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\beta} _t)$．

矩阵的行秩与列秩

矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\;\begin{matrix}a _{11} & a _{12} & \cdots & a _{1n} \\ a _{21} & a _{22} & \cdots & a _{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{m1} & a _{m2} & \cdots & a _{mn}\end{matrix}\;\right)$ 可视为是由若干行向量组成的矩阵 $\left(\,\begin{matrix}\boldsymbol{\alpha} _1 \\ \boldsymbol{\alpha} _2 \\ \vdots \\ \boldsymbol{\alpha} _m\end{matrix}\,\right)$，其中

$$ \boldsymbol{\alpha} _i=(a _{i1},a _{i2},\cdots,a _{in})\qquad (\,i=1,\,2,\,\cdots,\,m\,) $$

则称向量组 $\{\,\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _m\,\}$ 的秩为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行秩，而列秩的定义与之同理．

设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r(\boldsymbol{A})$，行秩为 $r _{\boldsymbol{\alpha}}$，列秩为 $r _{\boldsymbol{\beta}}$，则有

$$ r(\boldsymbol{A})=r _{\boldsymbol{\alpha}}=r _{\boldsymbol{\beta}} $$

成立．

极大无关组的求解方法

设由列向量组成的矩阵 $\boldsymbol{A}=(\,\begin{matrix}\boldsymbol{\alpha} _1 & \boldsymbol{\alpha} _2 & \cdots & \boldsymbol{\alpha} _n\end{matrix}\,)$ 经一系列初等行变换后化为矩阵 $\boldsymbol{B}=(\,\begin{matrix}\boldsymbol{\beta} _1 & \boldsymbol{\beta} _2 & \cdots & \boldsymbol{\beta} _n\end{matrix}\,)$，则有

若 $\{\,\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n\,\}$ 的极大无关组为 $\{\,\boldsymbol{\alpha} _{i _1},\,\boldsymbol{\alpha} _{i _2},\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _{i _t}\,\}$，则 $\{\,\boldsymbol{\beta} _1,\,\boldsymbol{\beta} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\beta} _n\,\}$ 的极大无关组为 $\{\,\boldsymbol{\beta} _{i _1},\,\boldsymbol{\beta} _{i _2},\,\cdots,\,\boldsymbol{\beta} _{i _t}\,\}$；
若对于 $\{\,\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n\,\}$ 的其余向量均有 $\boldsymbol{\alpha} _p=\displaystyle\sum\limits _{s=1}^{t}k _s\boldsymbol{\alpha} _{i _s}$ 成立，其中 $p\neq {i _s}$，则 $\boldsymbol{\beta} _p=\displaystyle\sum\limits _{s=1}^{t}k _s\boldsymbol{\beta} _{i _s}$．

换而言之，初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系，因此，求解向量组 $\{\,\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n\,\}$ 的极大无关组的步骤为：

将向量组按列摆放组成矩阵 $\boldsymbol{A}$；
对 $\boldsymbol{A}$ 作初等行变换化为行简化阶梯形矩阵 $\boldsymbol{B}$；
记录 $\boldsymbol{B}$ 中所有非零行上的首非零元素所在的列编号 $i$；
由全体 $\boldsymbol{\alpha} _i$ 组成的向量组即为该向量组的极大无关组．

使用该方法的好处是，在求解向量组的极大无关组时，可以同时得到此向量组的其余向量由该极大无关组的线性表示：

设行简化阶梯形矩阵 $\boldsymbol{B}=(\,b _{ij}\,) _{m\times n}$ 的前 $t$ 行为非零行，求得的极大无关组为 $\{\,\boldsymbol{\alpha} _{i _1},\,\boldsymbol{\alpha} _{i _2},\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _{i _t}\,\}$；
对于向量组的其余向量而言，有 $\boldsymbol{\alpha} _p=\displaystyle\sum\limits _{s=1}^{t}b _{sp}\boldsymbol{\alpha} _{i _s}$ 成立，其中 $p\neq i _s$．

例题

求解向量组 $\boldsymbol{\alpha} _1=(1,-2,2,-1),\,\boldsymbol{\alpha} _2=(2,-4,8,0),\,\boldsymbol{\alpha} _3=(-2,4,-2,3),\,\boldsymbol{\alpha} _4=(3,-6,0,-6)$ 的极大线性无关组．

解：将该向量组按列摆放组成矩阵

$$ \boldsymbol{A}=\left(\;\begin{matrix} 1 & 2 & -2 & 3 \\ -2 & -4 & 4 & -6 \\ 2 & 8 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 & -6 \end{matrix}\;\right) $$

将其化为行简化阶梯形矩阵为

$$ \boldsymbol{B}=\left(\;\begin{matrix} 1 & 0 & -3 & 6 \\ 0 & 1 & \dfrac{1}{2} & -\dfrac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\;\right) $$

由于非零行的首非零元素处于第 $1$ 列与第 $2$ 列，故向量组的极大无关组为 $\{\,\boldsymbol{\alpha} _1,\boldsymbol{\alpha} _2\,\}$，且其余向量由该极大无关组线性表示为

$$ \begin{cases} \boldsymbol{\alpha} _3=-3\boldsymbol{\alpha} _1+\dfrac{1}{2}\boldsymbol{\alpha} _2 \\\\ \boldsymbol{\alpha} _4=6\boldsymbol{\alpha} _1-\dfrac{3}{2}\boldsymbol{\alpha} _2 \end{cases} $$

向量空间

设 $V$ 为所有 $n$ 维向量的非空集合，若 $V$ 对向量的加法与数乘运算是封闭的，即

$\forall\,\boldsymbol{\alpha},\,\boldsymbol{\beta}\in V\Rightarrow\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\in V$；
$\forall\,\boldsymbol{\alpha}\in V,\,k\in\mathbf{R}\Rightarrow k\boldsymbol{\alpha}\in V$．

则称 $V$ 为实数域上的向量空间．

设有向量 $\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n$，若向量空间 $V$ 可表示为

$$ V=\{\,k _1\boldsymbol{\alpha} _1+k _2\boldsymbol{\alpha} _2+\cdots+k _n\boldsymbol{\alpha} _n\,|\,k _1,\,k _2,\,\cdots,\,k _n\in\mathbf{R}\,\} $$

则称 $V$ 为由向量 $\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n$ 生成的向量空间，记为 $L(\boldsymbol{\alpha} _1,\boldsymbol{\alpha} _2,\cdots,\boldsymbol{\alpha} _n)$．

设 $V$ 与 $W$ 为向量空间，则

若 $W\subseteq V$，则称 $W$ 为 $V$ 的子空间；
若 $W\subset V$，则称 $W$ 为 $V$ 的真子空间．

在向量空间 $V$ 中，若存在 $n$ 个向量 $\boldsymbol{\varepsilon} _1,\,\boldsymbol{\varepsilon} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\varepsilon} _n$，满足：

$\boldsymbol{\varepsilon} _1,\,\boldsymbol{\varepsilon} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\varepsilon} _n$ 线性无关；
$V$ 中任意一个向量均可由 $\boldsymbol{\varepsilon} _1,\,\boldsymbol{\varepsilon} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\varepsilon} _n$ 线性表示．

则称 $\boldsymbol{\varepsilon} _1,\,\boldsymbol{\varepsilon} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\varepsilon} _n$ 为 $V$ 的一组基，而称 $n$ 为 $V$ 的维数，此时 $V$ 可记为 $V _n$．

设 $\boldsymbol{\varepsilon} _1,\,\boldsymbol{\varepsilon} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\varepsilon} _n$ 为向量空间 $V _n$ 的一组基，若对于任意一个向量 $\boldsymbol{\alpha}\in V _n$，均存在唯一的一组数 $x _1,\,x _2,\,\cdots,\,x _n$，使得

$$ \boldsymbol{\alpha}=x _1\boldsymbol{\varepsilon} _1+x _2\boldsymbol{\varepsilon} _2+\cdots+x _n\boldsymbol{\varepsilon} _n $$

成立，则有序数组 $(x _1,x _2,\cdots,x _n)$ 称为 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\varepsilon} _1,\,\boldsymbol{\varepsilon} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\varepsilon} _n$ 下的坐标，记为 $\boldsymbol{\alpha}=(x _1,x _2,\cdots,x _n)$．

显然，根据向量空间的定义，向量在给定基下的坐标是唯一的，但需要注意的是，向量在不同基下的坐标是不同的．

向量的内积与模数

设有向量 $\boldsymbol{\alpha}=(a _1,a _2,\cdots,a _n)$ 与 $\boldsymbol{\beta}=(b _1,b _2,\cdots,b _n)$，则 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 的内积定义为

$$ (\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=a _1b _1+a _2b _2+\cdots+a _nb _n $$

当 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 均为行向量时，从矩阵的角度看，可将二者的内积形式改写为

$$ (\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{\alpha\beta}^\top $$

内积的性质如下所示．

交换律：$(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha})$．
结合律：$(k\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\alpha},k\boldsymbol{\beta})=k(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})$．
分配律：$(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma})=(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\gamma})+(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma})$．

设有向量 $\boldsymbol{\alpha}=(a _1,a _2,\cdots,a _n)$，则称

$$ \Vert\,\boldsymbol{\alpha}\,\Vert=\sqrt{(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})}=\sqrt{a _1^2+a _2^2+\cdots+a _n^2} $$

为 $\boldsymbol{\alpha}$ 的模数或长度，并称模数为 $1$ 的向量为单位向量．

模数的性质如下所示．

若 $\boldsymbol{\alpha}\neq\boldsymbol{0}$，则 $\Vert\,\boldsymbol{\alpha}\,\Vert>0$，否则 $\Vert\,\boldsymbol{\alpha}\,\Vert=0$．
$\Vert\,k\boldsymbol{\alpha}\,\Vert=|\,k\,|\cdot\Vert\,\boldsymbol{\alpha}\,\Vert$，其中 $k\in\mathbf{R}$．
设 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 为同维向量，则 $\Vert\,\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\,\Vert\leqslant\Vert\,\boldsymbol{\alpha}\,\Vert+\Vert\,\boldsymbol{\beta}\,\Vert$．

柯西 -- 施瓦茨不等式：对于两个同维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$，有

$$ (\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})^2\leqslant(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})\cdot(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\beta}) $$

成立．

由该不等式，我们可立即推出

$$ (\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})\leqslant\Vert\,\boldsymbol{\alpha}\,\Vert\cdot\Vert\,\boldsymbol{\beta}\,\Vert $$

并在此基础上定义向量的夹角为

$$ \theta=\arccos\dfrac{(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})}{\Vert\,\boldsymbol{\alpha}\,\Vert\cdot\Vert\,\boldsymbol{\beta}\,\Vert}\qquad(\,\Vert\,\boldsymbol{\alpha}\,\Vert,\,\Vert\,\boldsymbol{\beta}\,\Vert\neq 0\,) $$

向量组的正交性

若两个同维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 的内积为 $0$，即 $(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=0$，则称二者正交．

设 $\boldsymbol{A}:\,\{\,\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n\,\}$ 为向量组，若其中的向量均两两正交，则称 $\boldsymbol{A}$ 为正交向量组．

正交向量组是线性无关的，但线性无关的向量组不一定是正交向量组．

施密特正交化方法：设 $\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n$ 线性无关，令

$$ \begin{cases} \boldsymbol{\beta} _1=\boldsymbol{\alpha} _1 \\\\ \boldsymbol{\beta} _2=\boldsymbol{\alpha} _2-\dfrac{(\boldsymbol{\alpha} _2,\boldsymbol{\beta} _1)}{(\boldsymbol{\beta} _1,\boldsymbol{\beta} _1)}\boldsymbol{\beta} _1 \\\\ \cdots \\\\ \boldsymbol{\beta} _n=\boldsymbol{\alpha} _n-\displaystyle\sum\limits _{i=1}^{n-1}\dfrac{(\boldsymbol{\alpha} _n,\boldsymbol{\beta} _i)}{(\boldsymbol{\beta} _i,\boldsymbol{\beta} _i)}\boldsymbol{\beta} _i \end{cases} $$

则 $\{\,\boldsymbol{\beta} _1,\,\boldsymbol{\beta} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\beta} _n\,\}$ 为正交向量组，且 $\{\,\boldsymbol{\beta} _1,\,\boldsymbol{\beta} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\beta} _n\,\}\cong\{\,\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n\,\}$．

在此基础上，令

$$ \boldsymbol{\varepsilon} _1=\dfrac{\boldsymbol{\beta} _1}{\Vert\,\boldsymbol{\beta} _1\,\Vert},\,\boldsymbol{\varepsilon} _2=\dfrac{\boldsymbol{\beta} _2}{\Vert\,\boldsymbol{\beta} _2\,\Vert},\,\cdots,\,\boldsymbol{\varepsilon} _n=\dfrac{\boldsymbol{\beta} _n}{\Vert\,\boldsymbol{\beta} _n\,\Vert} $$

则 $\{\,\boldsymbol{\varepsilon} _1,\,\boldsymbol{\varepsilon} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\varepsilon} _n\,\}$ 为正交单位向量组．

若向量空间 $V$ 中的一组基为正交单位向量组，则称其为 $V$ 的一组正交规范基或标准正交基．

正交矩阵

若 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^\top\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$，则称 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶正交矩阵．

正交矩阵的性质如下所示．

对于正交矩阵 $\boldsymbol{A}$ 而言，有 $\boldsymbol{A}^\top=\boldsymbol{A}^{-1}$．
若 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵，则 $|\,\boldsymbol{A}\,|=\pm 1$．
若 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵，则 $\boldsymbol{A}^\top$ 与 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 均为正交矩阵．
若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 为同阶正交矩阵，则 $\boldsymbol{AB}$ 与 $\boldsymbol{BA}$ 均为正交矩阵．

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵的充要条件为其行（列）向量组是正交单位向量组．

线性方程组

一般线性方程组的解情况

本节中的“一般线性方程组”是齐次线性方程组与非齐次线性方程组的统称．

对于由 $m$ 个方程组成的 $n$ 元方程组

$$ \begin{cases} a _{11}x _1+a _{12}x _2+\cdots+a _{1n}x _n=b _1 \\\\ a _{21}x _1+a _{22}x _2+\cdots+a _{2n}x _n=b _2 \\\\ \cdots \\\\ a _{m1}x _1+a _{m2}x _2+\cdots+a _{mn}x _n=b _m \end{cases} $$

其中 $b _1,\,b _2,\,\cdots,\,b _m\in\mathbf{R}$，我们称由各元系数所组成的矩阵

$$ \boldsymbol{A}=\left(\;\begin{matrix} a _{11} & a _{12} & \cdots & a _{1n} \\ a _{21} & a _{22} & \cdots & a _{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{m1} & a _{m2} & \cdots & a _{mn} \end{matrix}\;\right) $$

为系数矩阵，而称矩阵

$\bar{A} = (\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{array})$

为增广矩阵．

显然，解方程组的过程，可视为是对其系数矩阵与增广矩阵进行初等行变换的过程．

方程组的解情况有且仅有三种，即无解、唯一解与无穷多组解．

当 $r(\boldsymbol{A})\neq r(\bar{\boldsymbol{A}})$ 时，方程组无解．
当 $r(\boldsymbol{A})=r(\bar{\boldsymbol{A}})$ 时，
- 若 $r(\boldsymbol{A})=r(\bar{\boldsymbol{A}})=n$，则方程组有唯一解；
- 若 $r(\boldsymbol{A})=r(\bar{\boldsymbol{A}})<n$，则方程组有无穷多组解．

下面将举例说明，以辅助读者理解上述结论．

例题

若增广矩阵为

$\bar{A} = (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array})$

其对应的方程组为

$$ \begin{cases} x _1=3-x _3 \\\\ x _2=4 \\\\ 0=1 \end{cases} $$

则此时 $r(\boldsymbol{A})\neq r(\bar{\boldsymbol{A}})$，方程组无解．

例题

若增广矩阵为

$\bar{A} = (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array})$

其对应的方程组为

$$ \begin{cases} x _1=1 \\\\ x _2=2 \\\\ x _3=3 \end{cases} $$

则此时 $r(\boldsymbol{A})=r(\bar{\boldsymbol{A}})=n=3$，方程组有唯一解．

例题

若增广矩阵为

$\bar{A} = (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})$

其对应的方程组为

$$ \begin{cases} x _1=5-x _3 \\\\ x _2=9-x _3 \end{cases} $$

则此时 $r(\boldsymbol{A})=r(\bar{\boldsymbol{A}})=2<3$，方程组有无穷多组解．

齐次线性方程组的解情况

设由 $m$ 个方程组成的 $n$ 元齐次线性方程组

$$ \begin{cases} a _{11}x _1+a _{12}x _2+\cdots+a _{1n}x _n=0 \\\\ a _{21}x _1+a _{22}x _2+\cdots+a _{2n}x _n=0 \\\\ \cdots \\\\ a _{m1}x _1+a _{m2}x _2+\cdots+a _{mn}x _n=0 \end{cases} $$

的系数矩阵为 $\boldsymbol{A}$，增广矩阵为 $\bar{\boldsymbol{A}}$，则 $r(\boldsymbol{A})=r(\bar{\boldsymbol{A}})$ 必定成立，即齐次线性方程组一定有解．

再设上述齐次线性方程组的解向量为

$$ \boldsymbol{\xi}=\left(\;\begin{matrix} c _1 \\ c _2 \\ \vdots \\ c _n \end{matrix}\;\right) $$

即存在一组解 $x _1=c _1,\,x _2=c _2,\,\cdots,\,x _n=c _n$ 使得此方程组成立，则 $\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{0}$ 恒为其解，即齐次线性方程组必有零解．

综上，我们可以得出如下结论．

若 $r(\boldsymbol{A})=n$，则齐次线性方程组有唯一解，且该唯一解为零解，反之亦然．
若 $r(\boldsymbol{A})<n$，则齐次线性方程组有非零解，反之亦然．

若齐次线性方程组有非零解，则其具有无穷多组解．

由于秩的性质，若方程数 $m$ 小于未知量数 $n$，则有

$$ r(\boldsymbol{A})\leqslant\min(m,n)=m<n $$

成立，即此时齐次线性方程组有非零解．

批注

若将系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 改写为列向量组形式，即

$$ \boldsymbol{A}=\left(\,\begin{matrix}\boldsymbol{\alpha} _1 & \boldsymbol{\alpha} _2 & \cdots & \boldsymbol{\alpha} _n\end{matrix}\,\right) $$

其中 $\boldsymbol{\alpha} _i=\left(\;\begin{matrix}a _{1i} \\ a _{2i} \\ \vdots \\ a _{mi}\end{matrix}\;\right)$（$1\leqslant i\leqslant n$），则齐次线性方程组可改写为

$$ x _1\boldsymbol{\alpha} _1+x _2\boldsymbol{\alpha} _2+\cdots+x _n\boldsymbol{\alpha} _n=\boldsymbol{0} $$

若 $m<n$，则该齐次线性方程组有非零解，即 $x _1,\,x _2,\,\cdots,\,x _n$ 不全为 $0$，此时 $\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _n$ 线性相关．

上述推理过程从齐次线性方程组的角度解释了线性相关的部分定理．

当方程数 $m$ 等于未知量数 $n$ 时，若齐次线性方程组有非零解，即 $r(\boldsymbol{A})<n$，则 $\boldsymbol{A}$ 为降秩矩阵，此时有 $|\,\boldsymbol{A}\,|=0$ 成立．

批注

上述二者互为充要条件，即系数行列式 $D=0$ 的齐次线性方程组具有非零解，此为克莱姆法则的推论．

齐次线性方程组的解结构

在本节中，我们仅讨论齐次线性方程组具有非零解的情况．

齐次线性方程组的解性质如下所示．

若 $\boldsymbol{\xi} _1$ 与 $\boldsymbol{\xi} _2$ 为方程组 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 的解，则 $\boldsymbol{\xi} _1+\boldsymbol{\xi} _2$ 也为该方程组的解．
若 $\boldsymbol{\xi}$ 是方程组 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 的解，则对于任意常数 $c$ 而言，$c\boldsymbol{\xi}$ 也为该方程组的解．

对于某个齐次线性方程组，若存在一组解 $\boldsymbol{\xi} _1,\,\boldsymbol{\xi} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\xi} _s$，满足：

$\boldsymbol{\xi} _1,\,\boldsymbol{\xi} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\xi} _s$ 线性无关；
该齐次线性方程组的任意一个解均可由 $\boldsymbol{\xi} _1,\,\boldsymbol{\xi} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\xi} _s$ 线性表示．

则称 $\boldsymbol{\xi} _1,\,\boldsymbol{\xi} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\xi} _s$ 为该齐次线性方程组的一个基础解系．

批注

实际上，基础解系就是齐次线性方程组解向量组的极大无关组．

求解齐次线性方程组的过程如下所示．

写出系数矩阵 $\boldsymbol{A}$，将 $\boldsymbol{A}$ 化为行简化阶梯形矩阵 $\boldsymbol{B}$．
对 $\boldsymbol{B}$ 中的所有非零行，进行如下操作：
- 将下标与该行首非零元素所在列编号相同的未知量（称为真未知量）置于同解方程组等号左侧；
- 将下标与该行其余元素所在列编号相同的未知量（称为自由未知量）置于同解方程组等号右侧．
按下标顺序，对自由未知量向量依次赋予自选线性无关组的向量值，计算出真未知量的值．
将真未知量与自由未知量对应的值组合为解向量，得出基础解系，进而获得通解．

注意事项

对于某方程组，设由全体未知量所构成的集合为 $X$，真未知量集合为 $X _1$，自由未知量集合为 $X _2$，则应满足

$$ \begin{cases} X _1\cup X _2=X \\\\ X _1\cap X _2=\varnothing \end{cases} $$

例题

某齐次线性方程组的系数矩阵为

$$ \boldsymbol{A}=\left(\;\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 7 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\;\right) $$

试求解此方程组．

解：对该方程组的系数矩阵化为行简化阶梯形矩阵可得

$$ \boldsymbol{B}=\left(\;\begin{matrix}1 & 0 & -\dfrac{9}{4} & -\dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} \\ 0 & 1 & \dfrac{3}{4} & -\dfrac{7}{4} & \dfrac{5}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\;\right) $$

非零行的首非零元素位于第一列与第二列，故真未知量为 $x _1,\,x _2$，而自由未知量为 $x _3,\,x _4,\,x _5$，并可得同解方程组

$$ \begin{cases} x _1=\dfrac{9}{4}x _3+\dfrac{3}{4}x _4-\dfrac{1}{4}x _5 \\\\ x _2=-\dfrac{3}{4}x _3+\dfrac{7}{4}x _4-\dfrac{5}{4}x _5 \end{cases} $$

令自由未知量向量 $\left(\;\begin{matrix}x _3 \\ x _4 \\ x _5\end{matrix}\;\right)$ 依次取 $\left(\;\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0\end{matrix}\;\right),\,\left(\;\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0\end{matrix}\;\right),\,\left(\;\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1\end{matrix}\;\right)$，得基础解系

$$ \boldsymbol{\xi} _1=\left(\;\begin{matrix}\dfrac{9}{4} \\ -\dfrac{3}{4} \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{matrix}\;\right),\,\boldsymbol{\xi} _2=\left(\;\begin{matrix}\dfrac{3}{4} \\ \dfrac{7}{4} \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{matrix}\;\right),\,\boldsymbol{\xi} _3=\left(\;\begin{matrix}-\dfrac{1}{4} \\ -\dfrac{5}{4} \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{matrix}\;\right) $$

故方程组的通解为 $k _1\boldsymbol{\xi} _1+k _2\boldsymbol{\xi} _2+k _3\boldsymbol{\xi} _3$，其中 $k _1,\,k _2,\,k _3$ 为任意常数．

批注

在上例中，自由未知量向量 $\left(\;\begin{matrix}x _3 \\ x _4 \\ x _5\end{matrix}\;\right)$ 的取值不唯一，为使形式美观，可依次取 $\left(\;\begin{matrix}4 \\ 0 \\ 0\end{matrix}\;\right),\,\left(\;\begin{matrix}0 \\ 4 \\ 0\end{matrix}\;\right),\,\left(\;\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 4\end{matrix}\;\right)$，此时基础解系为

$$ \boldsymbol{\xi} _1'=\left(\;\begin{matrix}9 \\ -3 \\ 4 \\ 0 \\ 0\end{matrix}\;\right),\,\boldsymbol{\xi} _2'=\left(\;\begin{matrix}3 \\ 7 \\ 0 \\ 4 \\ 0\end{matrix}\;\right),\,\boldsymbol{\xi} _3'=\left(\;\begin{matrix}-1 \\ -5 \\ 0 \\ 0 \\ 4\end{matrix}\;\right) $$

通过观察可发现，基础解系的解向量数等于自由未知量数，而真未知量数等于系数矩阵的秩，故有以下结论：

若齐次线性方程组的系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r<n$，则其有基础解系，且基础解系所含解向量的个数为 $n-r$．

由此，我们可以证明以下定理：

两个矩阵 $\boldsymbol{A} _{m\times n}$ 与 $\boldsymbol{B} _{n\times s}$ 满足关系 $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{O} _{m\times s}$，则 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})\leqslant n$．

证明

将 $\boldsymbol{B}$ 视为列向量分块矩阵 $\left(\,\begin{matrix}\boldsymbol{\beta} _1 & \boldsymbol{\beta} _2 & \cdots & \boldsymbol{\beta} _s\end{matrix}\,\right)$，根据分块矩阵性质，有

$$ \boldsymbol{AB}=\boldsymbol{A}\left(\,\begin{matrix}\boldsymbol{\beta} _1 & \boldsymbol{\beta} _2 & \cdots & \boldsymbol{\beta} _s\end{matrix}\,\right)=\left(\,\begin{matrix}\boldsymbol{A\beta} _1 & \boldsymbol{A\beta} _2 & \cdots & \boldsymbol{A\beta} _s\end{matrix}\,\right)=\boldsymbol{O} $$

故 $\boldsymbol{A\beta} _i=\boldsymbol{0}$，其中 $1\leqslant i\leqslant s$．

从齐次线性方程组的角度，我们可将 $\boldsymbol{\beta} _i$ 视为方程组 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 的解向量．

当 $r(\boldsymbol{A})=n$ 时，方程组有唯一零解，此时 $\boldsymbol{\beta} _i=\boldsymbol{0}$，即 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$，故 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})=r(\boldsymbol{A})\leqslant n$．

当 $r(\boldsymbol{A})<n$ 时，此时 $\boldsymbol{\beta} _i$ 可由基础解系 $\boldsymbol{\xi} _{j}$ 线性表示，其中 $1\leqslant j\leqslant n-r(\boldsymbol{A})$，根据向量组秩的性质，有

$$ r(\boldsymbol{\beta} _1,\,\boldsymbol{\beta} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\beta} _s)\leqslant r(\boldsymbol{\xi} _1,\,\boldsymbol{\xi} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\xi} _{n-r(\boldsymbol{A})}) $$

由于矩阵的秩、行秩与列秩三者相等，且基础解系为方程组解向量组的极大无关组，可得

$$ r(\boldsymbol{B})=r(\boldsymbol{\beta} _1,\,\boldsymbol{\beta} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\beta} _s)\leqslant r(\boldsymbol{\xi} _1,\,\boldsymbol{\xi} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\xi} _{n-r(\boldsymbol{A})})=n-r(\boldsymbol{A}) $$

即 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})\leqslant n$，证毕．

非齐次线性方程组的解结构

对于非齐次线性方程组 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$，我们称方程组 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 为其导出组．

非齐次线性方程组的解性质如下所示．

若 $\boldsymbol{\xi} _1$ 与 $\boldsymbol{\xi} _2$ 为方程组 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 的解，则 $\boldsymbol{\xi} _1-\boldsymbol{\xi} _2$ 为方程组 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 的解．
若 $\boldsymbol{\eta}^$ 为方程组 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 的解，$\boldsymbol{\xi}$ 为方程组 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 的解，则 $\boldsymbol{\eta}^+\boldsymbol{\xi}$ 为 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 的解．

求解非齐次线性方程组的过程如下所示．

判断 $r(\boldsymbol{A})$ 与 $r(\bar{\boldsymbol{A}})$ 是否相等，若不相等则方程组无解，否则进入下一步．
将增广矩阵 $\bar{\boldsymbol{A}}$ 化为行简化阶梯形矩阵 $\boldsymbol{B}$，若 $r(\boldsymbol{A})=r(\bar{\boldsymbol{A}})$ 则直接从 $\boldsymbol{B}$ 得解，否则进入下一步．
根据 $\boldsymbol{B}$ 写出其同解方程组，令自由未知量向量为零向量，求出真未知量的值，得到非齐次线性方程组的一个特解 $\boldsymbol{\eta}^*$．
划去同解方程组中的常数项得到导出组的同解方程组，按求解齐次线性方程组的方法求出基础解系 $\boldsymbol{\xi} _1,\,\boldsymbol{\xi} _2,\,\cdots,\boldsymbol{\xi} _{n-r(\boldsymbol{A})}$．
非齐次线性方程组的通解为 $\boldsymbol{\eta}^*+c _1\boldsymbol{\xi} _1+c _2\boldsymbol{\xi} _2+\cdots+c _{n-r(\boldsymbol{A})}\boldsymbol{\xi} _{n-r(\boldsymbol{A})}$，其中 $c _1,\,c _2,\,\cdots,\,c _{n-r(\boldsymbol{A})}$ 为任意常数．

特征值与特征向量

基础概念

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，若对于给定的数 $\lambda$，存在非零列向量 $\boldsymbol{\alpha}$，使得

$$ \boldsymbol{A\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha} $$

成立，则 $\lambda$ 称为 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，而 $\boldsymbol{\alpha}$ 称为对应于 $\lambda$ 的特征向量．

注意事项

特征值 $\lambda$ 可以为任意实数，但特征向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 必须为非零向量．

上式经移项后可化为齐次线性方程组

$$ (\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E})\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0} $$

故求解特征向量的过程转化为求解上述方程组非零解的过程，而根据克莱姆法则，此时系数矩阵的行列式为零，即

$$ |\;\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\;|=0 $$

该方程称为 $\boldsymbol{A}$ 的特征方程，对其求解可得 $\lambda$ 的值，随后将之代入方程组计算即可得到对应的特征向量．

若 $\lambda$ 为方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，$\boldsymbol{\alpha}$ 为对应的特征向量，则 $c\boldsymbol{\alpha}$ 也为对应于 $\lambda$ 的特征向量（$c\neq 0$）．

批注

特征值与特征向量是一对多的关系，即一个 $\lambda$ 可对应多个 $\boldsymbol{\alpha}$，但一个 $\boldsymbol{\alpha}$ 只能对应一个 $\lambda$．

特征值与特征向量的计算

对于 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$，计算其特征值与特征向量的过程如下所示．

计算特征多项式 $\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}$，并写出齐次线性方程组 $(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E})\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}$ 和特征方程 $|\;\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\;|=0$．
求解特征方程，得到 $\lambda$ 的值．
若 $\lambda$ 有多个值，则将其分别代入方程组中，按求解齐次线性方程组的方法求解对应的特征向量即可．

注意事项

求解齐次线性方程组所得到的特征向量需要限制常数不能同时为零，避免特征向量为零向量．

在求解特征方程时，通常对行列式进行变换以得到包含较多零元素的行，随后对其提取含 $\lambda$ 的公因子并按行展开计算．

例题

求解方阵 $\boldsymbol{A}=\left(\;\begin{matrix}1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & -2\end{matrix}\;\right)$ 的特征值与特征向量．

解：特征多项式的行列式为

$$ \begin{aligned} \newcommand{\Longeq}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=} |\;\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\;|=&\;\left|\;\begin{matrix}1-\lambda & -2 & 2 \\ -2 & -2-\lambda & 4 \\ 2 & 4 & -2-\lambda\end{matrix}\;\right| \\\\ \overset{r _3+r _2}{\Longeq}&\;\left|\;\begin{matrix}1-\lambda & -2 & 2 \\ -2 & -2-\lambda & 4 \\ 0 & 2-\lambda & 2-\lambda\end{matrix}\;\right| \\\\ \overset{c _2+(-1)\cdot c _3}{\Longeq}&\;\left|\;\begin{matrix}1-\lambda & -4 & 2 \\ -2 & -6-\lambda & 4 \\ 0 & 0 & 2-\lambda\end{matrix}\;\right| \\\\ =&\;(2-\lambda)\cdot\left|\;\begin{matrix}1-\lambda & -4 & 2 \\ -2 & -6-\lambda & 4 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\;\right| \\\\ \overset{expand\;by\;r _3}{\Longeq}&\;(2-\lambda)\cdot(-1)^{3+3}\cdot\left|\;\begin{matrix}1-\lambda & -4 \\ -2 & -6-\lambda\end{matrix}\;\right| \\\\ =&\;(2-\lambda)(\lambda+7)(\lambda-2) \end{aligned} $$

故特征方程 $|\;\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\;|=\boldsymbol{0}$ 的解为 $\lambda _1=\lambda _2=2,\,\lambda _3=-7$．

当 $\lambda=2$ 时，此时方程组 $(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E})\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}$ 的系数矩阵 $\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}=\left(\;\begin{matrix}-1 & -2 & 2 \\ -2 & -4 & 4 \\ 2 & 4 & -4\end{matrix}\;\right)$，化为行简化阶梯型矩阵为

$$ \boldsymbol{B} _1=\left(\;\begin{matrix}1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\;\right) $$

同解方程（组）为 $x _1=-2x _2+2x _3$，令自由未知量向量 $\left(\;\begin{matrix}x _2 \\ x _3\end{matrix}\;\right)$ 依次取 $\left(\;\begin{matrix}1 \\ 0\end{matrix}\;\right),\,\left(\;\begin{matrix}0 \\ 1\end{matrix}\;\right)$，得基础解系

$$ \boldsymbol{\xi} _1=\left(\;\begin{matrix}-2 \\ 1 \\ 0\end{matrix}\;\right),\,\boldsymbol{\xi} _2=\left(\;\begin{matrix}2 \\ 0 \\ 1\end{matrix}\;\right) $$

故对应于 $\lambda=2$ 的所有特征向量为 $k _1\boldsymbol{\xi} _1+k _2\boldsymbol{\xi} _2$，其中 $k _1,\,k _2$ 不同时为零．

当 $\lambda=-7$ 时，此时方程组 $(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E})\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}$ 的系数矩阵 $\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}=\left(\;\begin{matrix}8 & -2 & 2 \\ -2 & 5 & 4 \\ 2 & 4 & 5\end{matrix}\;\right)$，化为行简化阶梯型矩阵为

$$ \boldsymbol{B} _2=\left(\;\begin{matrix}1 & 0 & \dfrac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\;\right) $$

同解方程组为 $\begin{cases}x _1=-\dfrac{1}{2}x _3 \\\\ x _2=-x _3\end{cases}$，令自由未知量 $x _3=-2$，得基础解系

$$ \boldsymbol{\xi} _3=\left(\;\begin{matrix}1 \\ 2 \\ -2\end{matrix}\;\right) $$

故对应于 $\lambda=-7$ 的所有特征向量为 $k _3\boldsymbol{\xi} _3$，其中 $k _3\neq 0$．

对于上三角形矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\;\begin{matrix}a _{11} & a _{12} & \cdots & a _{1n} \\ & a _{22} & \cdots & a _{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & a _{nn}\end{matrix}\;\right)$，其特征多项式的行列式为

$$ |\;\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\;|=\left|\;\begin{matrix}a _{11}-\lambda & a _{12} & \cdots & a _{1n} \\ & a _{22}-\lambda & \cdots & a _{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & a _{nn}-\lambda\end{matrix}\;\right|=\displaystyle\prod\limits _{i=1}^n(a _{ii}-\lambda) $$

显然，$\boldsymbol{A}$ 的所有特征值为 $a _{ii}$，其中 $1\leqslant i\leqslant n$．

特征值与特征向量的性质

本节涉及的知识点较多，部分性质将会给出证明过程．

方阵 $\boldsymbol{A}$ 与其转置 $\boldsymbol{A}^\top$ 有相同的特征值．

证明

由于 $|\;\boldsymbol{A}^\top-\lambda\boldsymbol{E}\;|=|\;\boldsymbol{A}^\top-\lambda\boldsymbol{E}^\top\;|=|\;(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E})^\top\;|=|\;\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\;|$，故 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{A}^\top$ 在特征方程上同解，证毕．

注意事项

方阵 $\boldsymbol{A}$ 与其转置 $\boldsymbol{A}^\top$ 对应的特征向量不一定相同．
设方阵 $\boldsymbol{A}=(\,a _{ij}\,) _{n\times n}$ 有 $n$ 个特征值 $\lambda _1,\,\lambda _2,\,\cdots,\,\lambda _n$，则有：
- $\displaystyle\sum\limits _{i=1}^n\lambda _i=\sum\limits _{i=1}^na _{ii}$；
- $\displaystyle\prod\limits _{i=1}^n\lambda _i=|\;\boldsymbol{A}\;|$．
提示

$n$ 阶行列式的一种计算方法为
$$\left|\;\begin{matrix}a _{11} & a _{12} & \cdots & a _{1n} \\ a _{21} & a _{22} & \cdots & a _{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a _{n1} & a _{n2} & \cdots & a _{nn}\end{matrix}\;\right|=\sum\limits _{j _1 j _2\cdots j _n}(-1)^{N(j _1 j _2\cdots j _n)}a _{(1j _1)}a _{(2j _2)}\cdots a _{(nj _n)}$$
其中 $j _1 j _2\cdots j _n$ 是一个 $n$ 级排列，$N(j _1 j _2\cdots j _n)$ 是其逆序数．

证明

对特征多项式的行列式，有
$$\begin{aligned} |\;\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\;|&=\left|\;\begin{matrix}a _{11}-\lambda & a _{12} & \cdots & a _{1n} \\ a _{21} & a _{22}-\lambda & \cdots & a _{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a _{n1} & a _{n2} & \cdots & a _{nn}-\lambda\end{matrix}\\;\right| \\\\ &=(-1)^{N(12\cdots n)}\prod\limits _{i=1}^n(a _{ii}-\lambda)+R _D \\\\ &=\prod\limits _{i=1}^n(a _{ii}-\lambda)+R _D \\\\ &=(-1)^n\prod\limits _{i=1}^n(\lambda-a _{ii})+R _D \\\\ &=(-1)^n\cdot(\lambda-a _{11})(\lambda-a _{22})\cdots(\lambda-a _{nn})+R _D \\\\ &=(-1)^n\cdot[\,\lambda^n-(a _{11}+a _{22}+\cdots+a _{nn})\lambda ^{n-1}+\cdots+(-1)^na _{11}a _{22}\cdots a _{nn}\,]+R _D\end{aligned}$$
在上述过程中，我们按顺序依次取出主对角线上的元素以计算行列式，其中 $R _D$ 表示其余取法的元素乘积和．

就本质而言，$|\;\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\;|$ 是一个关于 $\lambda$ 的多项式 $\displaystyle\sum\limits _{i=1}^nk _i\lambda^i$，故令 $\lambda=0$ 即可求得该多项式的常数项，此值为 $|\;\boldsymbol{A}\;|$．

注意到，对于其余取法，若在行列式中取出非主对角线元素 $a _{ij}$，则主对角线元素 $a _{ii}-\lambda$ 与 $a _{jj}-\lambda$ 不能再取．

因此，非主对角线取法对多项式 $|\;\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\;|=\displaystyle\sum\limits _{i=1}^nk _i\lambda^i$ 贡献的最高次数为 $n-2$，即必有
$$R _D=\sum\limits _{i=1}^{n-2}p _i\lambda^i$$
成立，故 $|\;\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\;|$ 中 $\lambda^{n-1}$ 的系数为 $(-1)^{n+1}\displaystyle\sum\limits _{i=1}^na _{ii}$．

基于上述理由，我们继续改写原式为
$$\begin{aligned} \text{原式}=(-1)^n\lambda^n+(-1)^{n+1}\lambda^{n-1}\sum\limits _{i=1}^na _{ii}+R _D'(\lambda)+|\;\boldsymbol{A}\;| \end{aligned}$$
其中 $R _D'(\lambda)$ 为原式其余项表示为关于 $\lambda$ 的函数．

由于 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值为 $\lambda _1,\,\lambda _2,\,\cdots,\,\lambda _n$，故 $|\;\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\;|$ 可分解因式，即
$$\begin{aligned} |\;\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\;|=(-1)^n|\;\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\;|&=(-1)^n\prod\limits _{i=1}^n(\lambda-\lambda _i) \\\\ &=(-1)^n\cdot(\lambda-\lambda _1)(\lambda-\lambda _2)\cdots(\lambda-\lambda _n) \\\\ &=(-1)^n\cdot[\,\lambda ^n-(\lambda _1+\lambda _2+\cdots+\lambda _n)\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n\lambda _1\lambda _2\cdots\lambda _n\,] \\\\ &=(-1)^n\lambda^n+(-1)^{n+1}\lambda^{n-1}\sum\limits _{i=1}^n\lambda _i+\cdots+\prod\limits _{i=1}^n\lambda _i \end{aligned}$$
比较 $|\;\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\;|$ 的两种表达式，可得 $\displaystyle\sum\limits _{i=1}^n\lambda _i=\sum\limits _{i=1}^na _{ii}$ 且 $\displaystyle\prod\limits _{i=1}^n\lambda _i=|\;\boldsymbol{A}\;|$，证毕．

批注

在上述证明过程中，$\displaystyle\sum\limits _{i=1}^na _{ii}$ 是一个重要的参数，故将之称为 $\boldsymbol{A}$ 的迹，记为 $\text{tr}(\boldsymbol{A})$．
设方阵 $\boldsymbol{A}$ 有 $m$ 个互异的特征值 $\lambda _1,\,\lambda _2,\,\lambda _m$，则其各自对应的特征向量 $\boldsymbol{\alpha} _1,\,\boldsymbol{\alpha} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _m$ 线性无关．

推论

设方阵 $\boldsymbol{A}$ 有 $m$ 个互异的特征值 $\lambda _1,\,\lambda _2,\,\cdots,\,\lambda _m$，且每个特征值 $\lambda _i$ 对应 $r _i$ 个线性无关的特征向量
$$\boldsymbol{\alpha} _{i1},\,\boldsymbol{\alpha} _{i2},\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _{ir _i}\qquad (\,1\leqslant i\leqslant m\,)$$
则由该 $\displaystyle\sum\limits _{i=1}^mr _i$ 个特征向量组成的向量组
$$\boldsymbol{\alpha} _{11},\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _{1r _1},\,\boldsymbol{\alpha} _{21},\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _{2r _2},\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _{m1},\,\cdots,\,\boldsymbol{\alpha} _{mr _m}$$
线性无关．
$k$ 重特征根对应的线性无关的特征向量的个数小于等于 $k$．

推论

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 所有线性无关的特征向量的个数小于等于 $n$．
若 $\lambda$ 为方阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，设有多项式函数 $\displaystyle\varphi(x)=\sum\limits _{i=0}^mk _ix^i$，则 $\varphi(\lambda)$ 为方阵 $\varphi(\boldsymbol{A})$ 的一个特征值．

推论

设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为方阵 $\boldsymbol{A}$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量，则其同时也为方阵 $\varphi(\boldsymbol{A})$ 对应于 $\varphi(\lambda)$ 的特征向量．
若 $\lambda$ 为方阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，则
- $\dfrac{1}{\lambda}$ 为方阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的一个特征值；
- $\dfrac{1}{\lambda}\cdot|\;\boldsymbol{A}\;|$ 为方阵 $\boldsymbol{A}^*$ 的一个特征值．

相似矩阵

对于两个 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$，若存在 $n$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$，使得

$$ \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{AP}=\boldsymbol{B} $$

成立，则称 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，记为 $\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B}$．

相似矩阵的性质如下所示．

反身性：$\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{A}$．
对称性：$\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B}\Rightarrow\boldsymbol{B}\sim\boldsymbol{A}$．
传递性：$\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B},\,\boldsymbol{B}\sim\boldsymbol{C}\Rightarrow\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{C}$．

若方阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 之间存在相似关系 $\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B}$，则有以下结论成立．

二者的迹相等，即 $\text{tr}(\boldsymbol{A})=\text{tr}(\boldsymbol{B})$．
二者的行列式相等，即 $|\;\boldsymbol{A}\;|=|\;\boldsymbol{B}\;|$．
二者可逆性一致，即 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件为 $\boldsymbol{B}$ 可逆．
若二者均可逆，则 $\boldsymbol{A}^{-1}\sim\boldsymbol{B}^{-1}$．
二者的幂相似，即 $\boldsymbol{A}^m\sim\boldsymbol{B}^m$，其中 $m\in\mathbf{Z} _+$．
二者具有相同的特征值，即 $\lambda _{\boldsymbol{A}}=\lambda _{\boldsymbol{B}}$．

注意事项

该结论的逆命题不成立，即特征值相同的两个方阵不一定相似．
二者的秩相等，即 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$．

线性代数概论

http://blog.kksk.tech/2024/02/29/线性代数概论/

Author

KoSaking

Posted on

2024-02-29

Updated on

2025-12-24

Licensed under

线性代数概论

向量与向量组

基本定义与运算

向量间的线性表示

向量组的线性相关性

向量组的等价关系

向量组的秩

矩阵的行秩与列秩

极大无关组的求解方法

向量空间

向量的内积与模数

向量组的正交性

正交矩阵

线性方程组

一般线性方程组的解情况

齐次线性方程组的解情况

齐次线性方程组的解结构

非齐次线性方程组的解结构

特征值与特征向量

基础概念

特征值与特征向量的计算

特征值与特征向量的性质

相似矩阵

Author

Posted on

Updated on

Licensed under

Catalogue