矩阵基础
- 本文绝大多数理论来源为山东大学数学学院主编的《线性代数》第三版教材．
- 出于复习需要，本文仅收录较为重要的，或容易遗忘的性质、定理与公式等．
- 在介绍知识点时，本文默认所有的矩阵运算均有意义．
- 为行文方便，若无特殊说明，性质、定理与公式等仅从行的角度叙述．
- 若存在错误或表达不规范之处，请通过邮箱联系加以指正．
矩阵类型概览
本文所有类型的矩阵（包括行列式）的定义列举如下，后续将详细展开解释．
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零矩阵：所有元素均为 $0$ 的矩阵，通常记为 $\boldsymbol{O}$，即 $$ \boldsymbol{O}=\left(\;\begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix}\;\right) $$
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对角矩阵：除主对角线上的元素外，其余元素均为 $0$ 的 $n$ 阶方阵，通常记为 $\boldsymbol{\varLambda}$ 或 $\text{diag}\,\{a _{11},\,a _{22},\,\cdots,\,a _{nn}\}$，即 $$ \boldsymbol{\varLambda}=\left(\;\begin{matrix} a _{11} & & & \\ & a _{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & & a _{nn} \end{matrix}\;\right) $$
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单位矩阵：主对角线元素均为 $1$ 的方阵，通常记为 $\boldsymbol{E}_n$，即 $$ \boldsymbol{E}_n=\left(\;\begin{matrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{matrix}\;\right) $$
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标量矩阵：主对角线元素均为常数 $k$ 的方阵，即 $$ \left(\;\begin{matrix} k & & & \\ & k & & \\ & & \ddots & \\ & & & k \end{matrix}\;\right) $$
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三角形矩阵．
- 主对角线下方的元素均为 $0$ 的方阵称为上三角形矩阵．
- 主对角线上方的元素均为 $0$ 的方阵称为下三角形矩阵．
- 上三角形矩阵与下三角形矩阵统称为三角形矩阵．
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阶梯形矩阵．
- 若非零行均在零行上方，且各非零行首非零元素前的 $0$ 的个数随行数的增大而严格增加，则称为上阶梯形矩阵．
- 若非零行均在零行上方，且各非零行尾非零元素后的 $0$ 的个数随行数的增大而严格减少，则称为下阶梯形矩阵．
- 换而言之，阶梯形矩阵可用一条阶梯形的虚线分割，而其中一边均为 $0$．
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行简化阶梯形矩阵：是一种阶梯形矩阵，其特征为
- 所有非零行的首非零元素均为 $1$；
- 所有首非零元素所在列上的其余元素均为 $0$．
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同型矩阵：两个行数与列数分别对应相等的矩阵，如 $\boldsymbol{A} _{m\times n}$ 与 $\boldsymbol{B} _{m\times n}$．
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对称矩阵：满足 $\boldsymbol{A}^\top=\boldsymbol{A}$ 的方阵 $\boldsymbol{A}$．
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反对称矩阵：满足 $\boldsymbol{A}^\top=-\boldsymbol{A}$ 的方阵 $\boldsymbol{A}$．
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奇异方阵：满足 $|\,\boldsymbol{A}\,|=0$ 的方阵 $\boldsymbol{A}$．
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非奇异方阵：不是奇异方阵的方阵即为非奇异方阵．
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三角形行列式．
- 上三角形矩阵的行列式称为上三角形行列式．
- 下三角形矩阵的行列式称为下三角形行列式．
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对角行列式：即对角矩阵的行列式．
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斜对角矩阵（非严谨称谓）：除次对角线上的元素外，其余元素均为 $0$ 的 $n$ 阶方阵，即 $$ \newcommand\iddots{\mathinner{\kern1mu\raise1pt{.}\kern2mu\raise4pt{.}\kern2mu\raise7pt{\Rule{0pt}{7pt}{0pt}.}\kern1mu}} \left(\;\begin{matrix} & & & a _{1n} \\ & & a _{2,n-1} & \\ & \iddots & & \\ a _{n1} & & & \end{matrix}\;\right) $$
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斜三角形矩阵（非严谨称谓）．
- 次对角线下方的元素均为 $0$ 的方阵称为斜上三角形矩阵．
- 次对角线上方的元素均为 $0$ 的方阵称为斜下三角形矩阵．
- 斜上三角形矩阵与斜下三角形矩阵统称为三角形矩阵．
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斜三角形行列式．
- 斜上三角形矩阵的行列式称为斜上三角形行列式．
- 斜下三角形矩阵的行列式称为斜下三角形行列式．
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代数余子式：设 $\boldsymbol{A}=(\,a _{ij}\,) _{m\times n}$，则在 $|\,\boldsymbol{A}\,|$ 中将元素 $a _{ij}$ 所在行与列上的元素全部划去，由剩余元素按原顺序组成行列式 $$ M _{ij}=\left|\;\begin{matrix} a _{11} & \cdots & a _{1,j-1} & a _{1,j+1} & \cdots & a _{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{i-1,1} & \cdots & a _{i-1,j-1} & a _{i-1,j+1} & \cdots & a _{i-1,n} \\ a _{i+1,1} & \cdots & a _{i+1,j-1} & a _{i+1,j+1} & \cdots & a _{i+1,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{n1} & \cdots & a _{n,j-1} & a _{n,j+1} & \cdots & a _{nn} \end{matrix}\;\right| $$
称 $A _{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M _{ij}$ 为元素 $a _{ij}$ 的代数余子式．
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$k$ 阶子式：在 $n$ 阶行列式中任取 $k$ 行 $k$ 列，将所取行列的所有交点上的元素按原顺序组成的行列式．
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$k$ 阶子式的代数余子式：对于给定的 $n$ 阶行列式 $D=|\,\boldsymbol{A}\,|$ 与其 $k$ 阶子式 $$ \left|\;\begin{matrix} a _{i _1,j _1} & a _{i _1,j _2} & \cdots & a _{i _1,j _k} \\ a _{i _2,j _1} & a _{i _2,j _2} & \cdots & a _{i _2,j _k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a _{i _k,j _1} & a _{i _k,j _2} & \cdots & a _{i _k,j _k} \\ \end{matrix}\;\right| $$
其中
$$ \begin{cases} 1\leqslant i _1<i _2<\cdots<i _k\leqslant n\\\\ 1\leqslant j _1<j _2<\cdots<j _k\leqslant n \end{cases} $$
将子式中的所有元素在 $D$ 中各自原位置所在的行与列上的元素全部划去，由剩余元素按原顺序组成行列式 $M'$，称
$$ (-1)^{\sum\limits _{p=1}^k i _p+j _p}M' $$
为该 $k$ 阶子式的代数余子式．
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伴随矩阵：设 $\boldsymbol{A}=(\,a _{ij}\,) _{n\times n}$，则由 $\boldsymbol{A}$ 中各元素的代数余子式 $A _{ij}$ 构成的矩阵称为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，通常记为 $\boldsymbol{A}^$，即 $$ \boldsymbol{A}^=\left(\;\begin{matrix} A _{11} & A _{21} & \cdots & A _{n1} \\ A _{12} & A _{22} & \cdots & A _{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A _{1n} & A _{2n} & \cdots & A _{nn} \end{matrix}\;\right) $$
注意事项- 伴随矩阵的元素顺序与一般矩阵不同，其从形式上看与后者的转置更为接近．
- 所有一阶方阵的伴随矩阵均为 $\boldsymbol{E} _1$．
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满秩矩阵：满足 $r(\boldsymbol{A})=\min(m,n)$ 的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A} _{m\times n}$，其中 $r(\boldsymbol{A})$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的秩．
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降秩矩阵：不是满秩矩阵的矩阵即为降秩矩阵．
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初等矩阵：对单位矩阵作一次初等变换后所得到的矩阵．
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可逆矩阵与逆矩阵：设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，若存在一个 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{B}$，使得 $$ \boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}=\boldsymbol{E} _n $$
则称 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵，且称 $\boldsymbol{B}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵，记为 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{-1}$．
-
分块矩阵：以若干纵横虚线将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 分割为若干小矩阵，每个小矩阵称为子块，而以子块为元素的矩阵称为分块矩阵．
分块矩阵示例给定矩阵$$ \boldsymbol{A}=\left(\;\begin{matrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} & a _{14} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} & a _{24} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} & a _{34} \end{matrix}\;\right) $$
则有
和
以及其他分块方式．
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准对角矩阵：设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，若其分块矩阵仅在主对角线上有均为方阵的非零子块，即 $$ \boldsymbol{A}=\left(\;\begin{matrix} \boldsymbol{A} _1 & & & \\ & \boldsymbol{A} _{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \boldsymbol{A} _s \end{matrix}\;\right) $$
则称 $\boldsymbol{A}$ 为准对角矩阵或分块对角矩阵．
-
标准形：形如 $$ \left(\;\begin{matrix} \boldsymbol{E} _r & \boldsymbol{O} _{r\times (n-r)} \\ \boldsymbol{O} _{(m-r)\times r} & \boldsymbol{O} _{(m-r)\times(n-r)} \end{matrix}\;\right) _{m\times n} $$
的分块矩阵称为标准形．
排列与逆序
由 $1,\,2,\,\cdots,\,n$ 组成的一个有序数组称为 $n$ 级排列．
$n$ 级排列共有 $n!$ 种．
在 $n$ 级排列中，若较大的数位于较小的数之前，则由此二者构成的序列称为逆序．
$n$ 级排列 $a _1 a _2 \cdots a _n$ 中所含的逆序的个数称为逆序数，记为 $N(a _1 a _2 \cdots a _n)$．
逆序数为奇数的排列称为奇排列，否则称为偶排列．
排列 $12\cdots n$ 称为标准排列或自然排列．
交换排列中两个数的位置的过程称为对换．
对排列作一次对换，其奇偶性会发生改变．
在 $n$ 级排列中，奇排列与偶排列的数量相等，均为 $\dfrac{n!}{2}$．
矩阵的运算
矩阵乘法
设有矩阵 $\boldsymbol{A}=(\,a _{ik}\,) _{m\times s}$ 与 $\boldsymbol{B}=(\,b _{kj}\,) _{s\times n}$，则由元素
$$ c _{ij}=\sum\limits _{k=1}^s a _{ik}b _{kj}\qquad (\,i=1,\,2,\,\cdots,\,m;\,j=1,\,2,\,\cdots,\,n\,) $$
组成的矩阵 $\boldsymbol{C}=(\,c _{ij}\,) _{m\times n}$ 称为 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 的乘积，记为 $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{AB}$．
注意事项
- 任意两个矩阵之间不一定能进行矩阵运算，即 $\boldsymbol{AB}$ 与 $\boldsymbol{BA}$ 不一定有意义．
- 两个非零矩阵的乘积可以为零矩阵，即在 $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{O}$ 的条件下不一定能推得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$．
- 矩阵乘法一般不满足交换律，即 $\boldsymbol{AB}\neq\boldsymbol{BA}$．
- 矩阵乘法不满足消去律，即在 $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{AC}$ 与 $\boldsymbol{A}\neq\boldsymbol{O}$ 的条件下不一定能推得 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$．
矩阵乘法的性质如下所示．
- 结合律．
- $(\boldsymbol{AB})\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{BC})$．
- $k(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})=(k\boldsymbol{A})\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}(k\boldsymbol{B})$．
- 左分配律：$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})=\boldsymbol{AC}+\boldsymbol{BC}$．
- 右分配律：$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})\boldsymbol{C}=\boldsymbol{AC}+\boldsymbol{BC}$．
- 与单位矩阵的乘积：$\boldsymbol{A} _{m\times n}\boldsymbol{E} _{n\times n}=\boldsymbol{E} _{m\times m}\boldsymbol{A} _{m\times n}=\boldsymbol{A} _{m\times n}$．
矩阵转置
矩阵转置的性质如下所示．
- 二次转置：$(\boldsymbol{A}^\top)^\top=\boldsymbol{A}$．
- 相加后转置：$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^\top=\boldsymbol{A}^\top+\boldsymbol{B}^\top$．
- 数乘后转置：$(k\boldsymbol{A})^\top=k\boldsymbol{A}^\top$．
- 相乘后转置：$(\boldsymbol{AB})^\top=\boldsymbol{B}^\top\boldsymbol{A}^\top$．
对称矩阵
反对称矩阵的主对角线上的元素均为 $0$．
设 $\boldsymbol{A}$ 为一个方阵，则 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^\top,\,\boldsymbol{AA}^\top,\,\boldsymbol{A}^\top\boldsymbol{A}$ 均为对称矩阵，而 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^\top$ 为反对称矩阵．
由于
$$ \boldsymbol{A}=\dfrac{\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^\top}{2}+\dfrac{\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^\top}{2} $$
故任意一个方阵 $\boldsymbol{A}$ 均可写为对称矩阵与反对称矩阵的和．
若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 为同型对称矩阵，则 $\boldsymbol{AB}$ 为对称矩阵的充要条件为 $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}$．
代数余子式
对于任意一个 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$，其行列式按第 $i$ 行展开为
$$ |\,\boldsymbol{A}\,|=a _{i1}A _{i1}+a _{i2}A _{i2}+\cdots+a _{in}A _{in}\qquad (\,i=1,\,2,\,\cdots,\,n\,) $$
而按第 $j$ 列展开为
$$ |\,\boldsymbol{A}\,|=a _{1j}A _{1j}+a _{2j}A _{2j}+\cdots+a _{nj}A _{nj}\qquad (\,j=1,\,2,\,\cdots,\,n\,) $$
其中 $A _{ij}$ 为元素 $a _{ij}$ 的代数余子式．
某一行元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积和为零，列元素与之同理，即
$$ \begin{cases} a _{i1}A _{s1}+a _{i2}A _{s2}+\cdots+a _{in}A _{sn}=0,& &i\neq s\\\\ a _{1j}A _{1t}+a _{2j}A _{2t}+\cdots+a _{nj}A _{nt}=0,& &j\neq t \end{cases} $$
行列式
$n$ 阶行列式的一种计算方法为
$$ \left|\;\begin{matrix} a _{11} & a _{12} & \cdots & a _{1n} \\ a _{21} & a _{22} & \cdots & a _{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a _{n1} & a _{n2} & \cdots & a _{nn} \end{matrix}\;\right|=\sum\limits _{j _1 j _2\cdots j _n}(-1)^{N(j _1 j _2\cdots j _n)}a _{(1j _1)}a _{(2j _2)}\cdots a _{(nj _n)} $$
其中 $j _1 j _2\cdots j _n$ 是一个 $n$ 级排列，$N(j _1 j _2\cdots j _n)$ 是其逆序数．
批注
该公式中，元素积的行标形成标准排列，而列标形成 $n$ 级排列的所有可能情况的遍历．
对 $n$ 阶上三角形行列式 $D$ 按第一列展开可得
$$ D=a _{11}\left|\;\begin{matrix} a _{22} & \cdots & a _{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & a _{nn} \end{matrix}\;\right|=a _{11}a _{22}\left|\;\begin{matrix} a _{33} & \cdots & a _{3n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & a _{nn} \end{matrix}\;\right|=\cdots=\prod\limits _{i=1}^na _{ii} $$
同理可得 $n$ 阶下三角形行列式与 $n$ 阶对角行列式的值均为 $\displaystyle\prod\limits _{i=1}^na _{ii}$．
提示
从排列的角度看，对于 $n$ 阶上三角形行列式 $D$ 而言，考虑到 $0$ 与任何数的乘积均为 $0$，且不影响求和结果，故
- 从第一行取出 $a _{11}$；
- 从第二行取出 $a _{22}$（不能在某一列上重复取值，否则违反排列定义）；
- 以此类推，从第 $n$ 行取出 $a _{nn}$．
将取出的元素作积可得 $\displaystyle D=(-1)^{N(12\cdots n)}\prod\limits _{i=1}^na _{ii}=\prod\limits _{i=1}^na _{ii}$．
借助排列，我们可得到 $n$ 阶斜上三角形行列式 $D'$ 的值为
$$ D'=(-1)^{N(n(n-1)\cdots321)}a _{(1n)}a _{(2,n-1)}\cdots a _{(n1)}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\displaystyle\prod\limits _{i=1}^na _{i,n-i+1} $$
同理可得 $n$ 阶斜下三角形行列式与 $n$ 阶斜对角行列式的值均为 $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\displaystyle\prod\limits _{i=1}^na _{i,n-i+1}$．
行列式的性质如下所示．
-
方阵转置后，行列式的值不变，即 $|\,\boldsymbol{A}\,|=|\,\boldsymbol{A}^\top\,|$．
-
两个矩阵乘积的行列式等于其各自行列式的乘积，即 $|\,\boldsymbol{AB}\,|=|\,\boldsymbol{A}\,|\cdot|\,\boldsymbol{B}\,|$．
-
交换两行后，行列式变号，即 $$ \left|\;\begin{matrix} a _{11} & a _{12} & \cdots & a _{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{i1} & a _{i2} & \cdots & a _{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{j1} & a _{j2} & \cdots & a _{jn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{n1} & a _{n2} & \cdots & a _{nn} \end{matrix}\;\right|=-\left|\;\begin{matrix} a _{11} & a _{12} & \cdots & a _{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{j1} & a _{j2} & \cdots & a _{jn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{i1} & a _{i2} & \cdots & a _{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{n1} & a _{n2} & \cdots & a _{nn} \end{matrix}\;\right| $$
-
将某行中的所有元素与数 $k$ 相乘后，行列式的值变为原先的 $k$ 倍，即 $$ \left|\;\begin{matrix} a _{11} & a _{12} & \cdots & a _{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka _{i1} & ka _{i2} & \cdots & ka _{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{n1} & a _{n2} & \cdots & a _{nn} \end{matrix}\;\right|=k\left|\;\begin{matrix} a _{11} & a _{12} & \cdots & a _{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{i1} & a _{i2} & \cdots & a _{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{n1} & a _{n2} & \cdots & a _{nn} \end{matrix}\;\right| $$
同理，有 $$ \left|\;\begin{matrix} ka _{11} & ka _{12} & \cdots & ka _{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka _{i1} & ka _{i2} & \cdots & ka _{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka _{n1} & ka _{n2} & \cdots & ka _{nn} \end{matrix}\;\right|=k^n\left|\;\begin{matrix} a _{11} & a _{12} & \cdots & a _{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{i1} & a _{i2} & \cdots & a _{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{n1} & a _{n2} & \cdots & a _{nn} \end{matrix}\;\right| $$
-
若存在两行，其元素对应成比例，则该行列式的值为 $0$．
- 若某行元素均为 $0$，则该行列式的值为 $0$．
- 若存在两行，其元素对应相等，则该行列式的值为 $0$．
-
若某行中的元素均可表示为两个数的和，则该行列式可写成另外两个行列式的和，具体为 $$ \left|\;\begin{matrix} a _{11} & a _{12} & \cdots & a _{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{i1}+x _1 & a _{i2}+x _2 & \cdots & a _{in}+x _n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{n1} & a _{n2} & \cdots & a _{nn} \end{matrix}\;\right|=\left|\;\begin{matrix} a _{11} & a _{12} & \cdots & a _{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{i1} & a _{i2} & \cdots & a _{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{n1} & a _{n2} & \cdots & a _{nn} \end{matrix}\;\right|+\left|\;\begin{matrix} a _{11} & a _{12} & \cdots & a _{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x _1 & x _2 & \cdots & x _n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{n1} & a _{n2} & \cdots & a _{nn} \end{matrix}\;\right| $$
-
将某行与另一行的 $k$ 倍相加，行列式的值不变，即 $$ \left|\;\begin{matrix} a _{11} & a _{12} & \cdots & a _{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{i1}+ka _{j1} & a _{i2}+ka _{j2} & \cdots & a _{in}+ka _{jn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{n1} & a _{n2} & \cdots & a _{nn} \end{matrix}\;\right|=\left|\;\begin{matrix} a _{11} & a _{12} & \cdots & a _{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{i1} & a _{i2} & \cdots & a _{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _{n1} & a _{n2} & \cdots & a _{nn} \end{matrix}\;\right|\qquad (\,i\neq j\,) $$
拉普拉斯定理：在 $n$ 阶行列式 $D$ 中任取 $k$ 行，则由该 $k$ 行元素所组成的所有 $k$ 阶子式与各自代数余子式的乘积之和为 $D$．
例题
求行列式 $D=\left|\;\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 4 & 5\end{matrix}\;\right|$ 的值．
解：由拉普拉斯定理，注意到零元素的存在，故取该行列式的第一行与第二行，有
$$ D=\left|\;\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{matrix}\;\right|\cdot(-1)^{1+2+1+2}\cdot\left|\;\begin{matrix}3 & 4 \\ 4 & 5\end{matrix}\;\right|=2 $$
有时候可利用加边法等特殊技巧解决较为复杂的行列式求解问题．
例题
求解行列式 $\left|\;\begin{matrix}1+a _1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1+a _2 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1+a _n\end{matrix}\;\right|$ 的值．
解：加边法的本质是升阶，在原行列式的左上角新增一行与一列，但保持其值不变，即
$$ \newcommand{\Longeq}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=} \begin{aligned} {\left|\;\begin{matrix} 1+a _1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1+a _2 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1+a _n \end{matrix}\;\right| _{n\times n}}=&\;{\left|\;\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 1+a _1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & 1+a _2 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 1+a _n \end{matrix}\;\right| _{(n+1)\times(n+1)}}\\\\ \underset{i=2,\,3,\,\cdots,\,n+1}{\overset{r _i+(-1)\cdot r _1}{\Longeq}}&\;{\left|\;\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ -1 & a _1 & & & \\ -1 & & a _2 & & \\ \vdots & & & \ddots & \\ -1 & & & & a _n \end{matrix}\;\right|}\\\\ \underset{i=2,\,3,\,\cdots,\,n+1}{\overset{c _1+\frac{1}{a _{i-1}}\cdot c _i}{\Longeq}}&\;\left|\;\begin{matrix} \displaystyle 1+\sum\limits _{i=1}^n\dfrac{1}{a _i} & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ & a _1 & & & \\ & & a _2 & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & a _n \end{matrix}\;\right|\\\\ =&\,\left(1+\sum\limits _{i=1}^n\dfrac{1}{a _i}\right)\cdot\prod\limits _{i=1}^n a _i \end{aligned} $$
例题
求解范德蒙德行列式 $\left|\;\begin{matrix}1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x _1 & x _2 & x _3 & \cdots & x _n \\ x _1 ^2 & x _2^2 & x _3^2 & \cdots & x _n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x _1^{n-1} & x _2^{n-1} & x _3^{n-1} & \cdots & x _n^{n-1}\end{matrix}\;\right|$ 的值．
解：利用加边法的思想，递归地，有
$$ \newcommand{\Longeq}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=} \begin{aligned} \left|\;\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x _1 & x _2 & x _3 & \cdots & x _n \\ x _1 ^2 & x _2^2 & x _3^2 & \cdots & x _n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x _1^{n-1} & x _2^{n-1} & x _3^{n-1} & \cdots & x _n^{n-1} \end{matrix}\;\right|\;\underset{i=2,\,3,\,\cdots,\,n}{\overset{r _i+(-x _1)\cdot r _{i-1}}{\Longeq}}&\;\left|\;\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & x _2-x _1 & x _3-x _1 & \cdots & x _n-x _1 \\ 0 & x _2^2-x _1x _2 & x _3^2-x _1x _3 & \cdots & x _n^2-x _1x _n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & x _2^{n-1}-x _1x _2^{n-2} & x _3^{n-1}-x _1x _3^{n-2} & \cdots & x _n^{n-1}-x _1x _n^{n-2} \end{matrix}\;\right|\\\\ =&\;\left|\;\begin{matrix} x _2-x _1 & x _3-x _1 & \cdots & x _n-x _1 \\ x _2^2-x _1x _2 & x _3^2-x _1x _3 & \cdots & x _n^2-x _1x _n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x _2^{n-1}-x _1x _2^{n-2} & x _3^{n-1}-x _1x _3^{n-2} & \cdots & x _n^{n-1}-x _1x _n^{n-2} \end{matrix}\;\right|\\\\ =&\;\prod\limits _{i=2}^n(x _i-x _1)\cdot\left|\;\begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x _2 & x _3 & \cdots & x _n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x _2^{n-2} & x _3^{n-2} & \cdots & x _n^{n-2} \end{matrix}\;\right|\\\\ =&\;\cdots\\\\ =&\;\prod\limits _{i=2}^n(x _i-x _1)\cdot\prod\limits _{i=3}^n(x _i-x _2)\cdots(x _n-x _{n-1})\\\\ =&\;\prod\limits _{1\leqslant j<i\leqslant n}(x _i-x _j) \end{aligned} $$
反对称矩阵的行列式称为反对称行列式．
奇数阶反对称行列式的值为 $0$．
克莱姆法则
设有由 $n$ 个方程组成的 $n$ 元方程组
$$ \begin{cases} a _{11}x _1+a _{12}x _2+\cdots+a _{1n}x _n=b _1 \\\\ a _{21}x _1+a _{22}x _2+\cdots+a _{2n}x _n=b _2 \\\\ \cdots \\\\ a _{n1}x _1+a _{n2}x _2+\cdots+a _{nn}x _n=b _n \end{cases} $$
若其系数行列式 $D=\left|\;\begin{matrix}a _{11} & a _{12} & \cdots & a _{1n} \\ a _{21} & a _{22} & \cdots & a _{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a _{n1} & a _{n2} & \cdots & a _{nn}\end{matrix}\;\right|\neq 0$，则
$$ x _j=\dfrac{D _j}{D}\qquad (\,j=1,\,2\,\cdots,\,n\,) $$
其中 $D _j$ 是将 $D$ 的第 $j$ 列替换为由方程组常数项所组成的列向量所得到的行列式，即
$$ D _j=\left|\;\begin{matrix} a _{11} & \cdots & a _{1,j-1} & b _1 & a _{1,j+1} & \cdots & a _{1n} \\ a _{21} & \cdots & a _{2,j-1} & b _2 & a _{2,j+1} & \cdots & a _{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{n1} & \cdots & a _{n,j-1} & b _n & a _{n,j+1} & \cdots & a _{nn} \\ \end{matrix}\;\right| $$
特别地，若 $b _1=b _2=\cdots=b _n=0$，则称该方程组为 $n$ 元齐次线性方程组．
显然，由克莱姆法则，若系数行列式 $D\neq 0$，则 $n$ 元齐次线性方程组仅有零解．
由该结论，可得到其逆否命题：若 $n$ 元齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式 $D=0$．
此处给出新结论，后续博客将证明：若 $n$ 元齐次线性方程组的系数行列式 $D=0$，则其有非零解．
换而言之，$n$ 元齐次线性方程组有非零解的充要条件为其系数行列式 $D=0$．
逆矩阵
并非所有的矩阵均可逆，故在使用逆矩阵之前，首先需要判断矩阵的可逆性．
对于任意一个方阵 $\boldsymbol{A}$ 而言，有：
- $\boldsymbol{AA}^=\boldsymbol{A}^\boldsymbol{A}=|\,\boldsymbol{A}\,|\boldsymbol{E}$；
- $|\,\boldsymbol{A}^*\,|=|\,\boldsymbol{A}\,|^{n-1}$．
若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则其逆矩阵唯一，且有
$$ \boldsymbol{A}^{-1}=\dfrac{1}{|\,\boldsymbol{A}\,|}\boldsymbol{A}^* $$
成立．
矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件为 $|\,\boldsymbol{A}\,|\neq 0$．
设 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，其中 $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{E}$（或 $\boldsymbol{BA}=\boldsymbol{E}$），则 $\boldsymbol{A}$ 可逆，且 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{-1}$．
逆矩阵的性质如下所示．
- 若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 同样可逆，且 $(\boldsymbol{A}^{-1})^{-1}=\boldsymbol{A}$．
- 若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A}^\top$ 同样可逆，且 $(\boldsymbol{A}^\top)^{-1}=(\boldsymbol{A}^{-1})^\top$．
- 若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 均可逆，则 $\boldsymbol{AB}$ 可逆，且 $(\boldsymbol{AB})^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1}$．
- 若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆，且 $k\neq 0$，则 $(k\boldsymbol{A})^{-1}=\dfrac{1}{k}\boldsymbol{A}^{-1}$．
- 若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $|\,\boldsymbol{A}^{-1}\,|=|\,\boldsymbol{A}\,|^{-1}=\dfrac{1}{|\,\boldsymbol{A}\,|}$．
- 若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A}^$ 同样可逆，且 $(\boldsymbol{A}^)^{-1}=\dfrac{1}{|\,\boldsymbol{A}\,|}\boldsymbol{A}$．
分块矩阵
分块矩阵的加法、数乘与乘法运算与一般矩阵相应运算基本一致．
设分块矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\;\begin{matrix}\boldsymbol{A} _{11} & \boldsymbol{A} _{12} & \cdots & \boldsymbol{A} _{1n} \\ \boldsymbol{A} _{21} & \boldsymbol{A} _{22} & \cdots & \boldsymbol{A} _{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{A} _{m1} & \boldsymbol{A} _{m2} & \cdots & \boldsymbol{A} _{mn}\end{matrix}\;\right)$，则其转置为
$$ \boldsymbol{A}^\top=\left(\;\begin{matrix} \boldsymbol{A} _{11}^\top & \boldsymbol{A} _{21}^\top & \cdots & \boldsymbol{A} _{m1}^\top \\ \boldsymbol{A} _{12}^\top & \boldsymbol{A} _{22}^\top & \cdots & \boldsymbol{A} _{m2}^\top \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{A} _{1n}^\top & \boldsymbol{A} _{2n}^\top & \cdots & \boldsymbol{A} _{mn}^\top \end{matrix}\;\right) $$
若分块矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\;\begin{matrix}\boldsymbol{A} _1 & & & \\ & \boldsymbol{A} _2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \boldsymbol{A} _s\end{matrix}\;\right)$，其中每个子块均可逆，则其逆矩阵为
$$ \boldsymbol{A}^{-1}=\left(\;\begin{matrix} \boldsymbol{A} _1^{-1} & & & \\ & \boldsymbol{A} _2^{-1} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \boldsymbol{A} _s^{-1} \end{matrix}\;\right) $$
初等变换
初等变换的定义与性质
初等变换包括初等行变换与初等列变换．
对一个矩阵的初等行变换包括以下操作．
- 交换两行，记为 $r _i\leftrightarrow r _j$．
- 将某行中的所有元素与数 $k$ 相乘，记为 $r _i\times k$，其中 $k\neq 0$．
- 将某行与另一行的 $k$ 倍相加，记为 $r _i+kr _j$．
任何矩阵均可通过一系列初等变换化为标准形．
若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可经一系列初等变换化为矩阵 $\boldsymbol{B}$，则称 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价，记为 $\boldsymbol{A}\cong\boldsymbol{B}$．
初等变换的性质如下所示．
- 反身性：$\boldsymbol{A}\cong\boldsymbol{A}$．
- 对称性：$\boldsymbol{A}\cong\boldsymbol{B}\Rightarrow\boldsymbol{B}\cong\boldsymbol{A}$．
- 传递性：$\boldsymbol{A}\cong\boldsymbol{B},\,\boldsymbol{B}\cong\boldsymbol{C}\Rightarrow\boldsymbol{A}\cong\boldsymbol{C}$．
初等矩阵
初等矩阵分为以下三类．
- 交换单位矩阵的两行，记为 $\boldsymbol{E}(i,j)$．
- 将单位矩阵的某行中的所有元素与数 $k$ 相乘，记为 $\boldsymbol{E}(i(k))$，其中 $k\neq 0$．
- 将单位矩阵的某行与另一行的 $k$ 倍相加，记为 $\boldsymbol{E}(i,j(k))$．
由于 $|\,\boldsymbol{E}\,|=1$，根据行列式的性质，可得
$$ |\,\boldsymbol{E}(i,j)\,|=-1,\,|\,\boldsymbol{E}(i(k))\,|=k,\,|\,\boldsymbol{E}(i,j(k))\,|=1 $$
显然，三种初等矩阵的行列式的值均不为 $0$，故初等矩阵一定可逆，且各自的逆矩阵为
$$ \boldsymbol{E}^{-1}(i,j)=\boldsymbol{E}(i,j),\,\boldsymbol{E}^{-1}(i(k))=\boldsymbol{E}(i(k^{-1})),\,\boldsymbol{E}^{-1}(i,j(k))=\boldsymbol{E}(i,j(-k)) $$
换而言之，初等矩阵的逆矩阵同样为初等矩阵．
初等矩阵转置后仍为初等矩阵．
初等矩阵与初等变换的关系为：
- 以初等矩阵左乘矩阵 $\boldsymbol{A}$，相当于对 $\boldsymbol{A}$ 实施同种初等行变换；
- 以初等矩阵右乘矩阵 $\boldsymbol{A}$，相当于对 $\boldsymbol{A}$ 实施同种初等列变换．
对于任意一个矩阵 $\boldsymbol{A}$，存在一系列初等矩阵 $\boldsymbol{P} _1,\,\boldsymbol{P} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{P} _s,\,\boldsymbol{Q} _1,\,\boldsymbol{Q} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{Q} _t$，使得矩阵
$$ \boldsymbol{P} _1\boldsymbol{P} _2\cdots\boldsymbol{P} _s\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} _1\boldsymbol{Q} _2\cdots\boldsymbol{Q} _t $$
为标准形．
批注
若 $\boldsymbol{A}\cong\boldsymbol{B}$，则存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 与 $\boldsymbol{Q}$，使得 $\boldsymbol{PAQ}=\boldsymbol{B}$ 成立．
矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件为 $\boldsymbol{A}$ 的标准形为 $\boldsymbol{E}$．
矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件为 $\boldsymbol{A}$ 可表示为一系列初等矩阵的乘积．
初等变换的应用
利用初等变换求解给定矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的基本思路为
$$ (\,\begin{array}{c:c} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \end{array}\,)\; \overset{\text{一系列初等行变换}}{- - - - -\;- \rightarrow} \;(\,\begin{array}{c:c} \boldsymbol{E} & \boldsymbol{A}^{-1} \end{array}\,) $$
若无法实现上述变换，则说明 $\boldsymbol{A}$ 不可逆．
原理
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则有 $\boldsymbol{AA}^{-1}=\boldsymbol{E}$，且 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 可表示为一系列初等矩阵 $\boldsymbol{P} _1,\,\boldsymbol{P} _2,\,\cdots,\,\boldsymbol{P} _s$ 与 $\boldsymbol{E}$ 的乘积，即
$$ \boldsymbol{P} _1\boldsymbol{P} _2\cdots\boldsymbol{P} _s\boldsymbol{E}=\boldsymbol{A}^{-1} $$
对上式左右两端同时右乘 $\boldsymbol{A}$，有
$$ \boldsymbol{P} _1\boldsymbol{P} _2\cdots\boldsymbol{P} _s\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E} $$
比较两式，不难发现，若同时对 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 实施相同的初等行变换，则当 $\boldsymbol{A}$ 化为 $\boldsymbol{E}$ 时，$\boldsymbol{E}$ 即可化为 $\boldsymbol{A}^{-1}$．
矩阵的秩
在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中，非零的 $k$ 阶子式的最高阶数称为 $\boldsymbol{A}$ 的秩，记为 $r(\boldsymbol{A})$．
由定义可知，矩阵 $\boldsymbol{A} _{m\times n}$ 的秩满足条件 $0\leqslant r(\boldsymbol{A})\leqslant\min(m,n)$．
方阵 $\boldsymbol{A}$ 是满秩矩阵的充要条件为其行列式的值 $|\,\boldsymbol{A}\,|\neq 0$．
初等变换不改变矩阵的秩．
将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经一系列初等变换化为阶梯形矩阵 $\boldsymbol{B}$ 后，$r(\boldsymbol{A})$ 的值等于 $\boldsymbol{B}$ 中非零行的数量．
将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 转置后，其秩不变，即 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}^\top)$．
给定矩阵 $\boldsymbol{A} _{m\times n}$ 与两个可逆方阵 $\boldsymbol{P} _{m\times m}$ 和 $\boldsymbol{Q} _{n\times n}$，则有
$$ r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{PA})=r(\boldsymbol{AQ})=r(\boldsymbol{PAQ}) $$
对于任意两个可相乘的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$，有
$$ r(\boldsymbol{AB})\leqslant\min(r(\boldsymbol{A}),r(\boldsymbol{B})) $$