积分学概论
- 本文所有理论来源为同济大学数学系主编的《高等数学》第七版教材．
- 出于复习需要，本文仅收录较为重要的，或容易遗忘的性质、定理与公式等．
- 若存在错误或表达不规范之处，请通过邮箱联系加以指正．
不定积分
不定积分的性质与积分表
连续函数一定有原函数．
在基本积分表中，需要重点关注以下积分公式：
- $\displaystyle\int\dfrac{\text{d}x}{x}=\ln|\,x\,|+C$；
- $\displaystyle\int\dfrac{\text{d}x}{\cos^2 x}=\int\sec^2 x=\tan x+C$；
- $\displaystyle\int\dfrac{\text{d}x}{\sin^2 x}=\int\csc^2 x\text{d}x=-\cot x+C$；
- $\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}\text{d}x=\int\sec x\tan x\text{d}x=\sec x+C$；
- $\displaystyle\int\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\text{d}x=\int\csc x\cot x\text{d}x=-\csc x+C$．
此外需要补充一些积分公式：
- $\displaystyle\int\sec x\text{d}x=\ln|\,\sec x+\tan x\,|+C$；
- $\displaystyle\int\csc x\text{d}x=\ln|\,\csc x-\cot x\,|+C$；
- $\displaystyle\int\dfrac{\text{d}x}{x^2+a^2}=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C$；
- $\displaystyle\int\dfrac{\text{d}x}{x^2-a^2}=\dfrac{1}{2a}\ln\left|\,\dfrac{x-a}{x+a}\,\right|+C$；
- $\displaystyle\int\dfrac{\text{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\dfrac{x}{a}+C$；
- $\displaystyle\int\dfrac{\text{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln\,(\,x+\sqrt{x^2+a^2}\,)+C$；
- $\displaystyle\int\dfrac{\text{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln|\,x+\sqrt{x^2-a^2}\,|+C$．
若被积函数中含有高次三角函数，且不能直接利用上述积分公式时，考虑通过拆项或使用倍角公式降幂的方式解决．
第一类换元积分法
本质公式为
$$ \displaystyle\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\text{d}x=\int f(\varphi(x))\text{d}\varphi(x)=F(\varphi(x))+C $$
关键之处在于寻找（凑项）一个函数扮演 $\varphi(x)$ 的角色．
第二类换元积分法
通常以三角换元的方式解决带有根号的被积函数问题．
例题
求 $\displaystyle\int\dfrac{\text{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}}$ 的值（$a>0$）．
解：设 $x=a\tan t$，其中 $-\dfrac{\pi}{2}<t<\dfrac{\pi}{2}$，根据三角公式 $\tan^2 t+1=\sec^2 t$，有
$$ \sqrt{x^2+a^2}=\sqrt{a^2\cdot(\tan^2 t+1)}=a\sec t $$
此时 $\text{d}x=a\sec^2 t\text{d}t$，故
$$ \begin{aligned} \displaystyle\text{原式}=\int\dfrac{a\sec^2 t}{a\sec t}&=\int\sec t\text{d}t\\\\ &=\ln|\,\sec t+\tan t\,|+C\\\\ &=\ln\left|\,\dfrac{\sin t+1}{\cos t}\,\right|+C\\\\ &=\ln\left|\,\dfrac{\left(\dfrac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{\sqrt{x^2+a^2}}\right)}{\left(\dfrac{a}{\sqrt{x^2+a^2} }\right)}\,\right|+C\\\\ &=\ln\,(\,x+\sqrt{x^2+a^2}\,)+C _1 \end{aligned} $$
其中 $C _1=C-\ln a$．
分部积分法
设函数 $u=u(x)$ 和 $v=v(x)$ 具有连续导数，则有
$$ \displaystyle\int u\text{d}v=uv-\int v\text{d}u $$
在函数 $w(x)=u(x)v(x)$ 中，对于 $v(x)$，我们选择的优先级从小到大依次为“反对幂指三”或“反对幂三指”：
- “反对幂指三”分别指反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数和三角函数；
- 指数函数和三角函数的优先级相同，具体问题具体分析．
例题
求 $\displaystyle\int x\cos x\text{d}x$ 的值．
解：由于三角函数的优先级高于幂函数，故令 $v(x)=\cos x$，则有
$$ \begin{aligned} \displaystyle\text{原式}&=\int x\text{d}\sin x\\\\ &=x\sin x-\int\sin x\text{d}x\\\\ &=x\sin x+\cos x+C \end{aligned} $$
有时候需要使用两次分部积分法后解方程，才能求出所给的积分式的值．
有理函数的积分
通常使用待定系数法解决．
例题
求 $\displaystyle\int\dfrac{x^2+1}{(x+2)(x+1)^2}\text{d}x$ 的值．
解：设 $\dfrac{x^2+1}{(x+2)(x+1)^2}=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{(x+1)^2}$，则有
$$ A(x+1)^2+B(x+1)(x+2)+C(x+2)=x^2+1 $$
令系数分别对应相等有
$$ \begin{cases} A+B=1\\\\ 2A+3B+C=0\\\\ A+2B+2C=1 \end{cases} $$
解得
$$ \begin{cases} A=5\\\\ B=-4\\\\ C=2 \end{cases} $$
故
$$ \begin{aligned} \displaystyle\text{原式}&=\int\left(\dfrac{5}{x+2}-\dfrac{4}{x+1}+\dfrac{2}{(x+1)^2}\right)\text{d}x\\\\ &=5\int\dfrac{1}{x+2}\text{d}(x+2)-4\int\dfrac{1}{x+1}\text{d}(x+1)+2\int\dfrac{1}{(x+1)^2}\text{d}(x+1)\\\\ &=5\ln|\,x+2\,|-4\ln|\,x+1\,|-\dfrac{2}{x+1}+C \end{aligned} $$
定积分
定积分的概念与性质
若函数 $f(x)$ 在 $[\,a,b\,]$ 上的定积分存在，则称 $f(x)$ 在 $[\,a,b\,]$ 上可积．
若函数 $f(x)$ 在 $[\,a,b\,]$ 上连续，则其在该区间上可积．
若函数 $f(x)$ 在 $[\,a,b\,]$ 上有界且仅有有限个间断点，则其同样也在该区间上可积．
注意事项
可积不一定连续．
定积分中值定理：若函数 $f(x)$ 在 $[\,a,b\,]$ 上连续，则有
$$ \begin{aligned} &\exists\,\xi\in(\,a,b\,)\\\\ s.t.\qquad &\displaystyle\int _b^af(x)\text{d}x=f(\xi)(b-a) \end{aligned} $$
积分变限函数
形如
$$ \displaystyle\int _{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)\text{d}t $$
的函数称为积分变限函数，其导数为
$$ \displaystyle\left[\,\int _{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)\text{d}t\,\right]'=f(\varphi(x))\varphi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x) $$
批注
可通过口诀“上代上导减下代下导”记住该公式．
定积分的换元法
设函数 $f(x)$ 在区间 $[\,a,b\,]$ 上连续，且函数 $x=\varphi(t)$ 满足条件：
- $\varphi(\alpha)=a$，$\varphi(\beta)=b$；
- $\varphi(t)$ 在 $[\,\min(\alpha,\beta),\max(\alpha,\beta)\,]$ 上具有连续导数，且值域 $R _\varphi=[\,a,b\,]$．
则有
$$ \displaystyle\int _a^bf(x)\text{d}x=\int _\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\text{d}t $$
定积分的分部积分法
和不定积分的分部积分法类似，公式为
$$ \displaystyle\int _a^b u\text{d}v=(uv)\bigg| _a^b-\int _a^bv\text{d}u $$
反常积分
无穷限的反常积分
形如
$$ \displaystyle\int _a^{+\infty}f(x)\text{d}x,\,\int _{-\infty}^bf(x)\text{d}x,\,\int _{-\infty}^{+\infty}f(x)\text{d}x $$
的积分称为无穷限的反常积分．
以无穷上限反常积分为例，其计算方法为
$$ \displaystyle\int _a^{+\infty}f(x)\text{d}x=\lim\limits _{t\to+\infty}\int _a^tf(t)\text{d}t $$
若该极限存在，则称积分 $\displaystyle\int _a^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 是收敛的，否则称其为发散的．
无界函数的反常积分
若函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的任意一个邻域内都无界，则称 $a$ 为 $f(x)$ 的瑕点．
无界函数的反常积分也称为瑕积分．
设函数 $f(x)$ 在 $(\,a,b\,]$ 上连续，点 $a$ 为 $f(x)$ 的瑕点，则该区间的瑕积分的计算方法为
$$ \displaystyle\int _a^bf(x)\text{d}x=\lim\limits _{t\to a^+}\int _t^bf(x)\text{d}x $$
左闭右开区间的瑕积分计算方法与之同理．
瑕积分的收敛性定义与无穷限的反常积分收敛性的定义类似，在此不再赘述．
定积分的应用
平面图形的面积
直角坐标系情况
通常的要求是求由两个函数图象围成的图形的面积，较为简单，根据实际情况选用 X 型区域和 Y 型区域解决即可．
极坐标系情况
通常的要求是求极坐标曲线 $\rho=\rho(\theta)$ 与极轴或与自身等围成的图形的面积：
- 考察极径扫过很小的一个角 $\text{d}\theta$ 时所形成的扇形的面积为 $$ \text{d}A=\dfrac{1}{2}[\,\rho(\theta)\,]^2\text{d}\theta $$
- 在给定的区间（假设 $[\,\alpha,\beta\,]$ 为极径扫过的角的范围）上积分，即可得到此图形的面积为 $$ \displaystyle A=\int _\alpha^\beta\dfrac{1}{2}[\,\rho(\theta)\,]^2\text{d}\theta $$
旋转体的体积
通常的要求是求一段曲线对应的 X 型（或 Y 型）曲边梯形绕 $x$ 轴（或 $y$ 轴）旋转所形成的旋转体的体积．
以绕 $x$ 轴旋转为例，计算方法为：
- 考察自变量的很小的一个增量 $\text{d}x$ 对应的曲线段绕 $x$ 轴旋转所形成的圆柱体的体积为 $$ \text{d}V=\pi y^2\text{d}x $$
- 在给定的区间（假设 $[\,a,b\,]$ 为 $x$ 的取值范围）上积分，即可得到此旋转体的体积为 $$ \displaystyle V=\int _a^b\pi y^2\text{d}x $$
同理，曲线绕 $y$ 轴旋转所形成的旋转体的体积为
$$ \displaystyle V=\int _c^d\pi x^2\text{d}y $$
其中 $y\in[\,c,d\,]$．
截面面积已知的立体的体积
此处的“截面”指的是一系列的平行截面．
设截面面积函数为 $A(x)$，积分区间为 $[\,a,b\,]$，则所求立体的体积为
$$ \displaystyle V=\int _a^b A(x)\text{d}x $$
平面曲线的弧长
光滑曲线弧是可求弧长的．
参数方程情况
若曲线弧由参数方程
$$ \begin{cases} x=\varphi(t)\\\\ y=\psi(t) \end{cases} \qquad (\alpha\leqslant t\leqslant\beta) $$
给出，且 $\varphi(t),\,\psi(t)$ 在 $[\,\alpha,\beta\,]$ 上具有连续导数，$\varphi'(t),\,\psi'(t)$ 不同时为零，则所求弧长为
$$ \displaystyle s=\int _\alpha^\beta\sqrt{[\,\varphi'(t)\,]^2+[\,\psi'(t)\,]^2}\text{d}t $$
直角坐标系情况
若曲线弧由直角坐标方程
$$ y=f(x)\qquad (a\leqslant x\leqslant b) $$
给出，且 $f(x)$ 在 $[\,a,b\,]$ 上具有一阶连续导数，则所求弧长为
$$ \displaystyle s=\int _a^b\sqrt{1+(y')^2}\text{d}x $$
极坐标系情况
若曲线弧由极坐标方程
$$ \rho=\rho(\theta)\qquad (\alpha\leqslant\theta\leqslant\beta) $$
给出，且 $\rho(\theta)$ 在 $[\,\alpha,\beta\,]$ 上具有连续导数，则所求弧长为
$$ \displaystyle s=\int _\alpha^\beta\sqrt{\rho^2(\theta)+[\,\rho'(\theta)\,]^2}\text{d}\theta $$
重积分
二重积分的性质
若闭区域 $D$ 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在 $D$ 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和，即 $$ \displaystyle\iint\limits _{D}f(x,y)\text{d}x\text{d}y=\iint\limits _{D _1}f(x,y)\text{d}x\text{d}y+\iint\limits _{D _2}f(x,y)\text{d}x\text{d}y $$
中值定理：设函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，$\sigma$ 是 $D$ 的面积，则在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi,\eta)$，使得 $$ \displaystyle\iint\limits _{D}f(x,y)\text{d}\sigma=f(\xi,\eta)\cdot\sigma $$
二重积分的计算
直角坐标系情况
此部分主要聚焦于积分区域的表示方式．
-
若积分区域 $D$ 以 $X$ 型区域形式表示为 $$ \begin{cases} a\leqslant x\leqslant b\\\\ \varphi _1(x)\leqslant y\leqslant\varphi _2(x) \end{cases} $$
则有
$$ \displaystyle\iint\limits _{D}f(x,y)\text{d}\sigma=\int _a^b\text{d}x\int _{\varphi _1(x)}^{\varphi _2(x)}f(x,y)\text{d}y $$
-
若积分区域 $D$ 以 $Y$ 型区域形式表示为 $$ \begin{cases} c\leqslant y\leqslant d\\\\ \psi _1(y)\leqslant x\leqslant\psi _2(y) \end{cases} $$
则有
$$ \displaystyle\iint\limits _{D}f(x,y)\text{d}\sigma=\int _c^d\text{d}y\int _{\psi _1(y)}^{\psi _2(y)}f(x,y)\text{d}x $$
极坐标情况
若积分区域 $D$ 以极坐标形式表示为
$$ \begin{cases} \alpha\leqslant\theta\leqslant\beta\\\\ \varphi _1(\theta)\leqslant\rho\leqslant\varphi _2(\theta) \end{cases} $$
则有
$$ \begin{aligned} \displaystyle\iint\limits _{D}f(x,y)\text{d}x\text{d}y&=\iint\limits _{D}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\cdot\rho\text{d}\rho\text{d}\theta\\\\ &=\int _\alpha^\beta\text{d}\theta\int _{\varphi _1(\theta)}^{\varphi _2(\theta)}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\cdot\rho\text{d}\rho \end{aligned} $$
当积分区域为圆或圆环时，使用极坐标计算二重积分较为合适．
三重积分的计算
对三重积分可以如此理解：在二重积分几何意义的基础上，若该曲顶柱体的密度不均匀，则其质量即为三重积分的值．
三重积分的计算方法为：
- 将待积分的闭区域投影于容易计算的平面上，并写出投影区域的点集形式；
- 根据积分区域的特点选用不同的计算方式．
直角坐标系情况
此部分主要聚焦于积分区域的表示方式．
-
先一重后二重：若积分区域 $\varOmega$ 可表示为 $$ \varOmega=\{\,(x,y,z)\,|\,z _1(x,y)\leqslant z\leqslant z _2(x,y),\,(x,y)\in D _{xy}\,\} $$
其中 $D _{xy}$ 是 $\varOmega$ 在平面 $xOy$ 上的投影，且
$$ D _{xy}=\{\,(x,y)\,|\,a\leqslant x\leqslant b,\,y _1(x)\leqslant y\leqslant y _2(x)\,\} $$
则有
$$ \begin{aligned} \iiint\limits _{\varOmega}f(x,y,z)\text{d}v&=\iint\limits _{D _{xy}}\text{d}\sigma\int _{z _1(x,y)}^{z _2(x,y)}f(x,y,z)\text{d}z\\\\ &=\int _a^b\text{d}x\int _{y _1(x)}^{y _2(x)}\text{d}y\int _{z _1(x,y)}^{z _2(x,y)}f(x,y,z)\text{d}z \end{aligned} $$
-
先二重后一重：若积分区域 $\varOmega$ 可表示为 $$ \varOmega=\{\,(x,y,z)\,|\,(x,y)\in D _z,\,c _1\leqslant z\leqslant z _2\,\} $$
其中 $D _z$ 是竖坐标为 $z$ 的平面截闭区域 $\varOmega$ 所得到的一个平面闭区域，则有
$$ \iiint\limits _{\varOmega}f(x,y,z)\text{d}v=\int _{c _1}^{c _2}\iint\limits _{D _z}f(x,y,z)\text{d}x\text{d}y $$
柱面坐标情况
在平面 $xOy$ 上使用极坐标，但在竖直方向上仍使用直角坐标的坐标 $(\rho,\theta,z)$ 称为柱面坐标，其中
$$ \begin{cases} 0\leqslant\rho<+\infty\\\\ 0\leqslant\theta\leqslant 2\pi\\\\ -\infty<z<+\infty \end{cases} $$
设 $F(\rho,\theta,z)=f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z)$，则此时有
$$ \iiint\limits _{\varOmega}f(x,y,z)\text{d}v=\iiint\limits _{\varOmega}F(\rho,\theta,z)\cdot\rho\text{d}\rho\text{d}\theta\text{d}z $$
球面坐标情况
设 $M(x,y,z)$ 为空间直角坐标系 $Oxyz$ 内的一点，点 $P$ 为点 $M$ 在平面 $xOy$ 上的投影，且有以下参数：
- $r$ 为向量 $\overrightarrow{OM}$ 的模；
- $\varphi$ 为向量 $\overrightarrow{OM}$ 与 $z$ 轴正向的夹角；
- $\theta$ 为向量 $\overrightarrow{OP}$ 与 $x$ 轴正向的夹角．
则使用此三者的坐标称为球面坐标，其中
$$ \begin{cases} 0\leqslant r<+\infty\\\\ 0\leqslant\varphi\leqslant\pi\\\\ 0\leqslant\theta\leqslant 2\pi \end{cases} $$
显然，有关系
$$ \begin{cases} x=|\,OP\,|\cdot\cos\theta=r\sin\varphi\cos\theta\\\\ y=|\,OP\,|\cdot\sin\theta=r\sin\varphi\cos\theta\\\\ z=r\cos\varphi \end{cases} $$
成立．
设 $F(r,\varphi,\theta)=f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\cos\theta,r\cos\varphi)$，则使用球面坐标表示的三重积分的计算公式为
$$ \iiint\limits _{\varOmega}f(x,y,z)\text{d}v=\iiint\limits _{\varOmega}F(r,\varphi,\theta)\cdot r^2\sin\varphi\text{d}r\text{d}\varphi\text{d}\theta $$
重积分的应用
曲面的面积
设曲面 $S$ 的方程为 $z=f(x,y)$，$D$ 为 $S$ 在平面 $xOy$ 上的投影，则 $S$ 的面积为
$$ A=\iint\limits _{D}\sqrt{1+[\,f _x'(x,y)\,]^2+[\,f _y'(x,y)\,]^2}\text{d}\sigma $$
质心
在平面 $xOy$ 上占有闭区域 $D$、密度为 $\mu(x,y)$ 的薄片的质心坐标为
$$ \left(\dfrac{\displaystyle\iint\limits _{D}x\mu(x,y)\text{d}\sigma}{\displaystyle\iint\limits _{D}\mu(x,y)\text{d}\sigma},\dfrac{\displaystyle\iint\limits _{D}y\mu(x,y)\text{d}\sigma}{\displaystyle\iint\limits _{D}\mu(x,y)\text{d}\sigma}\right) $$
其中 $\mu(x,y)$ 在 $D$ 上连续．
转动惯量
-
在平面 $xOy$ 上占有闭区域 $D$、密度为 $\mu(x,y)$ 的平面薄片对于 $x$ 轴和 $y$ 轴的转动惯量分别为 $$ \begin{cases} \displaystyle I _x=\iint\limits _{D}y^2\mu(x,y)\text{d}\sigma\\\\ \displaystyle I _y=\iint\limits _{D}x^2\mu(x,y)\text{d}\sigma \end{cases} $$
其中 $\mu(x,y)$ 在 $D$ 上连续．
-
占有空间有界闭区域 $\varOmega$、密度为 $\rho(x,y,z)$ 的物体对于三条坐标轴的转动惯量分别为 $$ \begin{cases} \displaystyle I _x=\iiint\limits _{\varOmega}(y^2+z^2)\rho(x,y,z)\text{d}v\\\\ \displaystyle I _y=\iiint\limits _{\varOmega}(z^2+x^2)\rho(x,y,z)\text{d}v\\\\ \displaystyle I _z=\iiint\limits _{\varOmega}(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\text{d}v \end{cases} $$
其中 $\rho(x,y,z)$ 在 $\varOmega$ 上连续．
引力
占有空间有界闭区域 $\varOmega$、密度为 $\rho(x,y,z)$ 的物体对外部一拥有单位质量的质点 $P _0(x _0,y _0,z _0)$ 的引力为
$$ \begin{aligned} \boldsymbol{F}&=(F _x,F _y,F _z)\\\\ &=\left(\displaystyle\iiint\limits _{\varOmega}\dfrac{G\rho(x,y,z)(x-x _0)}{r^3}\text{d}v,\displaystyle\iiint\limits _{\varOmega}\dfrac{G\rho(x,y,z)(y-y _0)}{r^3}\text{d}v,\displaystyle\iiint\limits _{\varOmega}\dfrac{G\rho(x,y,z)(z-z _0)}{r^3}\text{d}v\right) \end{aligned} $$
其中 $r$ 为物体与质点的距离，且 $\rho(x,y,z)$ 在 $\varOmega$ 上连续．
曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分又称为第一类曲线积分，用于计算线密度为变量的曲线弧的质量．
设曲线弧 $L$ 在点 $(x,y)$ 处的线密度为 $f(x,y)$，则根据积分思想，其质量为
$$ \displaystyle\int _Lf(x,y)\text{d}s=\lim\limits _{\lambda\to 0}\sum\limits _{i=1}^nf(\xi _i,\eta _i)\Delta s _i $$
其中 $\lambda$ 为各小弧段的长度的最大值．
若曲线弧 $L$ 可分为两段光滑曲线弧 $L _1$ 和 $L _2$，则有
$$ \displaystyle\int _{L _1+L _2}f(x,y)\text{d}s=\int _{L _1}f(x,y)\text{d}s+\int _{L _2}f(x,y)\text{d}s $$
若曲线弧 $L$ 为闭曲线，则 $f(x,y)$ 在 $L$ 上对弧长的曲线积分记为 $\displaystyle\oint _Lf(x,y)\text{d}s$．
设 $f(x,y)$ 在曲线弧 $L$ 上有定义且连续，而 $L$ 的参数方程为
$$ \begin{cases} x=\varphi(t)\\\\ y=\psi(t) \end{cases} \qquad (\alpha\leqslant t\leqslant\beta) $$
其中 $\varphi(t)$ 和 $\psi(t)$ 在 $[\,\alpha,\beta\,]$ 上具有一阶连续偏导数，$[\,\varphi'(t)\,]^2+[\,\psi'(t)\,]^2\neq 0$，则有
$$ \displaystyle\int _Lf(x,y)\text{d}s=\int _\alpha^\beta f[\,\varphi(t),\psi(t)\,]\cdot\sqrt{[\,\varphi'(t)\,]^2+[\,\psi'(t)\,]^2}\text{d}t $$
注意事项
上述计算公式必须满足 $\alpha<\beta$．
对坐标的曲线积分
对坐标的曲线积分又称为第二类曲线积分，用于计算变力在曲线弧上所做的功．
设变力 $\boldsymbol{F}(x,y)=P(x,y)\boldsymbol{i}+Q(x,y)\boldsymbol{j}$，则根据积分思想，其在 $x$ 轴和 $y$ 轴方向上做的功分别为
$$ \begin{cases} \displaystyle\int _LP(x,y)\text{d}x=\lim\limits _{\lambda\to 0}\sum\limits _{i=1}^nP(\xi _i,\eta _i)\Delta x _i\\\\ \displaystyle\int _LQ(x,y)\text{d}y=\lim\limits _{\lambda\to 0}\sum\limits _{i=1}^nQ(\xi _i,\eta _i)\Delta y _i \end{cases} $$
故总功为 $\displaystyle W=\int _LP(x,y)\text{d}x+\int _LQ(x,y)\text{d}y$，而该结果可简记为
$$ \displaystyle\int _LP(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y $$
或可写为向量形式
$$ \displaystyle\int _L\boldsymbol{F}(x,y)\cdot\text{d}\boldsymbol{r} $$
其中圆点表示的是数量积运算，且 $\text{d}\boldsymbol{r}=\text{d}x\boldsymbol{i}+\text{d}y\boldsymbol{j}$.
设 $L$ 是有向光滑曲线弧，$L^-$ 是 $L$ 的反向曲线弧，则
$$ \displaystyle\int _{L^-}\boldsymbol{F}(x,y)\cdot\text{d}\boldsymbol{r}=-\int _L\boldsymbol{F}(x,y)\cdot\text{d}\boldsymbol{r} $$
设 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上有定义且连续，而 $L$ 的参数方程为
$$ \begin{cases} x=\varphi(t)\\\\ y=\psi(t) \end{cases} $$
当 $t$ 单调地由 $\alpha$ 变化到 $\beta$ 时，点 $M(x,y)$ 从 $L$ 的起点沿 $L$ 运动至终点 $B$，其余条件与第一类曲线积分的要求相同，则有
$$ \displaystyle\int _LP(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=\int _\alpha^\beta\{\,P[\,\varphi(t),\psi(t)\,]\cdot\varphi'(t)+Q[\,\varphi(t),\psi(t)\,]\cdot\psi'(t)\,\}\text{d}t $$
注意事项
上述公式并不要求 $\alpha<\beta$，只需要 $t=\alpha$ 时对应 $L$ 的起点、$t=\beta$ 时对应 $L$ 的终点即可．
两类曲线积分的联系
对于平面曲线弧 $L$，有
$$ \displaystyle\int _LP\text{d}x+Q\text{d}y=\int _L(P\cos\alpha+Q\cos\beta)\text{d}s $$
其中 $\alpha(x,y)$ 和 $\beta(x,y)$ 为有向曲线弧 $L$ 在点 $(x,y)$ 处的切向量的方向角．
格林公式
格林公式与牛顿 -- 莱布尼茨公式的相通点在于：
- 牛顿 -- 莱布尼茨公式将一重积分的计算重心从原先的全积分区间段转移至区间端点上；
- 格林公式将二重积分的计算重心从原先的全积分区域转移至区域边界曲线上．
设 $D$ 为平面区域，若 $D$ 内任意一条闭曲线所围成的部分均属于 $D$，则称其为平面单连通区域，否则称为复连通区域．
对于平面区域 $D$ 的边界曲线 $L$，当观察者沿之行走时，若 $D$ 的内点始终位于其左侧，则称当前方向为 $L$ 的正方向．
批注
从图形上看：
- 单连通区域是不含有“洞”和“点洞”的；
- 区域最外层曲线的正方向是逆时针的，而内层曲线（对复连通区域而言即为“洞”的边界曲线）的正方向是顺时针的．
设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成，若函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有
$$ \displaystyle\iint\limits _D\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\text{d}x\text{d}y=\oint _LP\text{d}x+Q\text{d}y $$
其中 $L$ 是 $D$ 取正方向时的边界曲线．
若取 $P=-x$，$Q=x$，则有
$$ \displaystyle 2\iint\limits _D\text{d}x\text{d}y=\oint _Lx\text{d}y-y\text{d}x $$
显然，上式左端是平面闭区域 $D$ 面积的两倍，故有
$$ A=\dfrac{1}{2}\oint _Lx\text{d}y-y\text{d}x $$
下面的例题给出了格林公式在复连通区域上的应用过程，以及曲线围成区域内有未定义点的处理方式．
例题
计算 $\displaystyle\oint _L\dfrac{x\text{d}y-y\text{d}x}{x^2+y^2}$ 的值，其中 $L$ 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，方向为正．
解：由题意，令 $P=-\dfrac{-y}{x^2+y^2}$，$Q=\dfrac{x}{x^2+y^2}$，有
$$ \dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}=\dfrac{\partial P}{\partial y} $$
记 $L$ 所围成的闭区域为 $D$．
当 $(0,0)\notin D$ 时，由格林公式有
$$ \displaystyle\oint _L\dfrac{x\text{d}y-y\text{d}x}{x^2+y^2}=\iint\limits _D\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\text{d}x\text{d}y=0 $$
当 $(0,0)\in D$ 时，选取适当小的 $r>0$，作位于 $D$ 内的圆周 $l:\,x^2+y^2=r^2$，设其与 $L$ 围成的闭区域使用格林公式，有
$$ \displaystyle\oint _{L}\dfrac{x\text{d}y-y\text{d}x}{x^2+y^2}+\displaystyle\oint _{l^+}\dfrac{x\text{d}y-y\text{d}x}{x^2+y^2}=0 $$
其中 $l^+$ 表示 $l$ 的正方向，此时取 $l$ 的方向为负，有
$$ \begin{aligned} \displaystyle\oint _{L}\dfrac{x\text{d}y-y\text{d}x}{x^2+y^2}&=\displaystyle\oint _l\dfrac{x\text{d}y-y\text{d}x}{x^2+y^2}\\\\ &=\oint _l\dfrac{r\cos\theta\text{d}(r\sin\theta)-r\sin\theta\text{d}(r\cos\theta)}{r^2}\\\\ &=\int _0^{2\pi}(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\text{d}\theta\\\\ &=2\pi \end{aligned} $$
对面积的曲面积分
对面积的曲面积分又称为第一类曲面积分，用于计算面密度为变量的曲面的质量．
设曲面 $\varSigma$ 在点 $(x,y,z)$ 处的面密度为 $f(x,y,z)$，则根据积分思想，其质量为
$$ \displaystyle\iint\limits _\varSigma f(x,y,z)\text{d}S=\lim\limits _{\lambda\to 0}f(\xi _i,\eta _i,\zeta _i)\Delta S _i $$
其中 $\lambda$ 为各小曲面的直径的最大值．
若曲面 $\varSigma$ 可分为两片光滑曲面 $\varSigma _1$ 和 $\varSigma _2$，则有
$$ \displaystyle\iint\limits _\varSigma f(x,y,z)\text{d}S=\iint\limits _{\varSigma _1} f(x,y,z)\text{d}S+\iint\limits _{\varSigma _2} f(x,y,z)\text{d}S $$
设积分曲面 $\varSigma:\,z=z(x,y)$ 在平面 $xOy$ 上的投影为 $D _{xy}$，且 $z(x,y)$ 在 $D _{xy}$ 上具有连续偏导数，而 $f(x,y,z)$ 在 $\varSigma$ 上连续，则有
$$ \displaystyle\iint\limits _{\varSigma}f(x,y,z)\text{d}S=\iint\limits _{D _{xy}}f[\,x,y,z(x,y)\,]\cdot\sqrt{1+[\,z _x'(x,y)\,]^2+[\,z _y'(x,y)\,]^2}\text{d}x\text{d}y $$
例题
计算 $\displaystyle\iint\limits _{\varSigma}\dfrac{\text{d}S}{z}$ 的值，其中 $\varSigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 被平面 $z=h$（$0<h<a$）截得的顶部．
解：$\varSigma$ 的方程为 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$，其在平面 $xOy$ 上的投影区域为
$$ D _{xy}=\{\,(x,y)\,|\,x^2+y^2\leqslant a^2-h^2\,\} $$
故
$$ \begin{aligned} \displaystyle\iint\limits _{\varSigma}\dfrac{\text{d}S}{z}&=\iint\limits _{D _{xy}}\dfrac{\sqrt{1+\dfrac{x^2}{a^2-x^2-y^2}+\dfrac{y^2}{a^2-x^2-y^2}}}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\text{d}x\text{d}y\\\\ &=\iint\limits _{D _{xy}}\dfrac{a}{a^2-x^2-y^2}\text{d}x\text{d}y\\\\ &=a\int _0^{2\pi}\text{d}\theta\int _0^{\sqrt{a^2-\rho^2}}\dfrac{\rho\text{d}\rho}{a^2-\rho^2}\\\\ &=2\pi a\ln\dfrac{a}{h} \end{aligned} $$
若在计算第一类曲面积分的过程中使用球面坐标以简化计算，由于
$$ \text{d}v=r^2\sin\varphi\text{d}r\text{d}\varphi\text{d}\theta $$
其中 $\text{d}r$ 是小长方体的高，故有
$$ \text{d}S=r^2\sin\varphi\text{d}\varphi\text{d}\theta $$
注意事项
关于投影问题，需要注意以下两点：
- 若曲面在某个平面上投影面积为零，则不能在该面上投影；
- 对由多个光滑曲面构成的闭曲面而言，若两片子曲面的投影区域有所重叠，则应分片单独计算．
若积分曲面 $\varSigma$ 关于平面 $xOy$ 对称，则有
$$ \displaystyle\iint\limits _\varSigma f(x,y,z)\text{d}S= \begin{cases} 2\displaystyle\iint\limits _{\varSigma _{z\geqslant 0}}f(x,y,z)\text{d}S,& &f(x,y,z)\,\text{关于}\,z\,\text{为}\textbf{偶函数}\\\\ 0,& &f(x,y,z)\,\text{关于}\,z\,\text{为}\textbf{奇函数} \end{cases} $$
对坐标的曲面积分
曲面的侧
日常生活中，我们所遇到的多数曲面都是双侧的，如外侧与内侧、上侧与下侧等．
曲面的侧由其法向量选定，并按以下步骤规定曲面在平面 $xOy$ 上的投影方向：
- 设 $\varSigma$ 为有向光滑曲面，在其上取一小块曲面 $\Delta S$，并将之投影至平面 $xOy$ 上，记该投影区域的面积为 $(\Delta\sigma) _{xy}$；
- 若 $\Delta S$ 上各点处的法向量与 $z$ 轴夹角 $\gamma$ 的余弦值 $\cos\gamma$ 的符号均相同，则其在平面 $xOy$ 上的投影 $(\Delta S) _{xy}$ 为 $$ (\Delta S) _{xy}= \begin{cases} (\Delta\sigma) _{xy},& &\cos\gamma>0\\\\ -(\Delta\sigma) _{xy},& &\cos\gamma<0\\\\ 0,& &\cos\gamma\equiv 0 \end{cases} $$
在平面 $yOz$ 与平面 $xOz$ 上的投影方向定义与之同理．
批注
侧的方向与投影方向的关系为“上正下负，前正后负，右正左负”．
定义与计算方法
对坐标的曲面积分又称为第二类曲面积分，用于计算密度为 $1$ 的变速流体在单位时间内流经某曲面的流量．
类似于第二类曲线积分，设流体的流速为 $\boldsymbol{v}(x,y,z)=P(x,y,z)\boldsymbol{i}+Q(x,y,z)\boldsymbol{j}+R(x,y,z)\boldsymbol{k}$，则其在单位时间内的流量为
$$ \displaystyle\iint\limits _\varSigma P(x,y,z)\text{d}y\text{d}z+Q(x,y,z)\text{d}z\text{d}x+R(x,y,z)\text{d}x\text{d}y $$
其中
$$ \begin{cases} \displaystyle\iint\limits _\varSigma P(x,y,z)\text{d}y\text{d}z=\lim\limits _{\lambda\to 0}\sum\limits _{i=1}^nP(\xi _i,\eta _i,\zeta _i)(\Delta S _i) _{yz}\\\\ \displaystyle\iint\limits _\varSigma Q(x,y,z)\text{d}x\text{d}y=\lim\limits _{\lambda\to 0}\sum\limits _{i=1}^nQ(\xi _i,\eta _i,\zeta _i)(\Delta S _i) _{zx}\\\\ \displaystyle\iint\limits _\varSigma R(x,y,z)\text{d}x\text{d}y=\lim\limits _{\lambda\to 0}\sum\limits _{i=1}^nR(\xi _i,\eta _i,\zeta _i)(\Delta S _i) _{xy} \end{cases} $$
设 $\varSigma$ 为有向曲面，$\varSigma ^-$ 表示与 $\varSigma$ 取相反侧的有向曲面，以在平面 $xOy$ 上的投影为例，有
$$ \displaystyle\iint\limits _{\varSigma^-} R(x,y,z)\text{d}x\text{d}y=-\iint\limits _\varSigma R(x,y,z)\text{d}x\text{d}y $$
若积分曲面 $\varSigma:\,z=z(x,y)$ 在平面 $xOy$ 上的投影区域为 $D _{xy}$，且 $z(x,y)$ 在 $D _{xy}$ 上具有一阶连续偏导数，$R(x,y,z)$ 在 $\varSigma$ 上连续，则
$$ \displaystyle\iint\limits _{\varSigma}R(x,y,z)\text{d}x\text{d}y=\pm\iint\limits _{D _{xy}}R[\,x,y,z(x,y)\,]\text{d}x\text{d}y $$
同理可计算 $\displaystyle\iint\limits _\varSigma P(x,y,z)\text{d}y\text{d}z$ 和 $\displaystyle\iint\limits _\varSigma Q(x,y,z)\text{d}x\text{d}y$，而上式中正负号的选择仍由“上正下负，前正后负，右正左负”决定．
若积分曲面 $\varSigma$ 关于平面 $xOy$ 对称，则有
$$ \displaystyle\iint\limits _\varSigma f(x,y,z)\text{d}x\text{d}y= \begin{cases} 2\displaystyle\iint\limits _{\varSigma _{z\geqslant 0}}f(x,y,z)\text{d}x\text{d}y,& &f(x,y,z)\,\text{关于}\,z\,\text{为}\textbf{奇函数}\\\\ 0,& &f(x,y,z)\,\text{关于}\,z\,\text{为}\textbf{偶函数} \end{cases} $$
注意事项
第二类曲面积分的奇偶性对称结论与第一类曲面积分相应者是相反的．
在两类曲面积分中，若 $\varSigma$ 的方程或积分函数满足轮换性质，则优先考虑通过轮换计算．
例题
计算 $\displaystyle I=\iint\limits _\varSigma\dfrac{2\text{d}y\text{d}z}{x\cos^2x}+\dfrac{\text{d}z\text{d}x}{\cos^2y}-\dfrac{\text{d}x\text{d}y}{z\cos^2z}$ 的值，其中 $\varSigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 的外侧．
解：由于 $\varSigma$ 的方程具有轮换对称性，则有
$$ \begin{cases} \dfrac{2\text{d}y\text{d}z}{x\cos^2x}=\dfrac{2\text{d}z\text{d}x}{y\cos^2y}=\dfrac{2\text{d}x\text{d}y}{z\cos^2z}\\\\ \dfrac{\text{d}z\text{d}x}{\cos^2y}=\dfrac{\text{d}x\text{d}y}{\cos^2z} \end{cases} $$
而该球面的外侧关于平面 $xOy$ 对称，且 $f(z)=\dfrac{1}{\cos^2z}$ 关于 $z$ 为偶函数，故 $\dfrac{\text{d}z\text{d}x}{\cos^2y}=\dfrac{\text{d}x\text{d}y}{\cos^2z}=0$，即
$$ \begin{aligned} \displaystyle I&=\iint\limits _\varSigma\dfrac{2\text{d}x\text{d}y}{z\cos^2z}-\dfrac{\text{d}x\text{d}y}{z\cos^2z}+0=2\iint\limits _{\varSigma _{z\geqslant 0}}\dfrac{\text{d}x\text{d}y}{z\cos^2z}\\\\ &=2\iint\limits _{x^2+y^2\leqslant 1}\dfrac{\sqrt{1-x^2-y^2}\cos^2\sqrt{1-x^2-y^2}}{\text{d}x\text{d}y}\\\\ &=2\int _0^{2\pi}\text{d}\theta\int _0^1\dfrac{\rho\text{d}\rho}{\sqrt{1-\rho^2}\cos^2\sqrt{1-\rho^2}}\\\\ &=-4\pi\int _0^1\dfrac{\text{d}\sqrt{1-\rho^2}}{\cos^2\sqrt{1-\rho^2}}\\\\ &=\left.-4\pi\cdot\tan\sqrt{1-\rho^2}\,\right| _0^1\\\\ &=4\pi\tan 1 \end{aligned} $$
两类曲面积分的联系
对于曲面 $\varSigma$，有
$$ \displaystyle\iint\limits _\varSigma P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y=\iint\limits _\varSigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\text{d}S $$
其中 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 是有向曲面 $\varSigma$ 在点 $(x,y,z)$ 处的法向量的方向余弦．
高斯公式
高斯公式与格林公式的相通点在于：
- 格林公式将二重积分的计算转化为对区域边界曲线上的第二类曲线积分的计算；
- 高斯公式将三重积分的计算转化为对区域边界曲面上的第二类曲面积分的计算．
设空间闭区域 $\varOmega$ 由分片光滑的闭曲面 $\varSigma$ 所围成，若函数 $P(x,y,z),\,Q(x,y,z),\,R(x,y,z)$ 在 $\varOmega$ 上具有一阶连续偏导数，则有
$$ \newcommand{\oiint}{\iint\hspace{-1.545em}{\subset\hspace{-0.2em}\supset}\,\,} $$
$$ \displaystyle\iiint\limits _\varOmega\left(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\right)\text{d}v=\mathop{\oiint}\limits _{\varSigma\,\,\,\,\,} P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y $$
斯托克斯公式
斯托克斯公式可视为是格林公式的推广，其揭示了第二类曲线积分与第二类曲面积分之间的关系．
右手规则：当右手大拇指的指向为有向曲面 $\varSigma$ 的法向量方向时，其余四指沿 $\varGamma$ 的指向为边界曲线 $\varGamma$ 的正方向．
设有以下条件成立：
- $\varGamma$ 为分段光滑的空间有向闭曲线，$\varSigma$ 是以 $\varGamma$ 为边界的分片光滑的有向曲面；
- $\varGamma$ 的正向与 $\varSigma$ 的侧满足右手规则；
- 函数 $P(x,y,z),\,Q(x,y,z),\,R(x,y,z)$ 在 $\varSigma$ 与 $\varGamma$ 上具有一阶连续偏导数；
- 视 $\dfrac{\partial R}{\partial x}$ 为 $\dfrac{\partial}{\partial x}$ 与 $R$ 的“积”，以此类推．
则有
$$ \iint\limits _\varSigma\,\,\left|\;\begin{matrix} \text{d}y\text{d}z & \text{d}z\text{d}x &\text{d}x\text{d}y \\\\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\\\ P & Q & R \end{matrix}\;\right|=\oint _\varGamma P\text{d}x+Q\text{d}y+R\text{d}z $$