高等数学基础与杂论

2024-02-092025-10-12 math / note an hour read (About 9127 words)

阅读前提示

本文所有理论来源为同济大学数学系主编的《高等数学》第七版教材．
出于复习需要，本文仅收录较为重要的，或容易遗忘的性质、定理与公式等．
若存在错误或表达不规范之处，请通过邮箱联系加以指正．

函数与极限

函数的性质

函数的性质如下所示．

有界性：包括上界、下界和无界三种情况，其中前两者统称为有界．
- 若函数有上界（下界），则上界（下界）不是唯一的．
- 最小的上界称为上确界，最大的下界称为下确界．
单调性：和高中定义相同．
奇偶性：和高中定义相同．
周期性：周期函数的周期通常指的是最小正周期．

并非每个周期函数都有最小正周期，如狄利克雷函数

$$ D(x)=\begin{cases} 1,& &x\in\mathbf{Q}\\\\ 0,& &x\in\mathbf{Q}^C \end{cases} $$

函数的分类

基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等．

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的、并可由一个式子表示的函数，称为初等函数．

分段函数不是初等函数．

数列的极限

数列极限的定义

对于数列 $\{x _n\}$ 而言，若存在常数 $a$，对于任意给定的正数 $\varepsilon$，无论其多么小，总存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，不等式

$$ |\,x _n-a\,|<\varepsilon $$

恒成立，则称常数 $a$ 是数列 $\{x _n\}$ 的极限，或称 $\{x _n\}$ 收敛于 $a$，记为 $\lim\limits _{n\to\infty}x _n=a$ 或 $x _n\to a$（$n\to\infty$）．

收敛数列的性质

收敛数列的性质如下所示．

唯一性：若数列 $\{x _n\}$ 收敛，则其极限唯一．
有界性：若数列 $\{x _n\}$ 收敛，则其一定有界．
保号性：若 $\lim\limits _{n\to\infty}x _n=a$ 且 $a>0$（或 $a<0$），则存在 $N\in \mathbf{N _+}$，当 $n>N$ 时都有 $x _n>0$（或 $x _n<0$）．
保号性推论：若数列 $\{x _n\}$ 从某项起有 $x _n\geqslant 0$（或 $x _n\leqslant 0$），且 $\lim\limits _{n\to\infty}x _n=a$，则 $a\geqslant 0$（或 $a\leqslant 0$）．
收敛数列与子数列的关系：若数列 $\{x _n\}$ 收敛于 $a$，则其任意一个子数列也收敛，且极限也为 $a$．

函数的极限

函数极限的定义

函数极限和数列极限的定义相似，但分为自变量趋于有限值和自变量趋于无穷大两种情况．

前者可用数学语言描述为：$\lim\limits _{x\to x _0}f(x)=A\Leftrightarrow\{\,\forall\,\varepsilon>0,\,\exists\,\delta>0,\,0<|\,x-x _0\,|<\delta\Rightarrow|\,f(x)-A\,|<\varepsilon\,\}$．
后者可用数学语言描述为：$\lim\limits _{x\to\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\{\,\forall\,\varepsilon>0,\,\exists\,X>0,\,|\,x\,|>X\Rightarrow|\,f(x)-A\,|<\varepsilon\,\}$．

函数 $f(x)$ 在 $x\to x _0$ 时极限存在的充要条件是左右极限存在且相等，即

$$ f(x _0^-)=f(x _0^+) $$

换而言之，只要满足上式，$f(x)$ 在 $x _0$ 的极限就是 $f(x _0^-)$，无论其在 $x _0$ 是否有定义，也无论有定义时 $f(x _0)$ 具体是何值．

函数极限的性质

函数极限的性质如下所示．

唯一性：若 $\lim\limits _{x\to x _0}f(x)$ 存在，则该极限唯一．
局部有界性：若 $\lim\limits _{x\to x _0}f(x)=A$，则存在常数 $M,\,\delta>0$，使得 $0<|\,x-x _0\,|<\delta$ 时，有 $|\,f(x)\,|<M$．
局部保号性：若 $\lim\limits _{x\to x _0}f(x)=A$ 且 $A>0$（或 $A<0$），则存在常数 $\delta>0$，使得 $0<|\,x-x _0\,|<\delta$ 时，有 $f(x)>0$（或 $f(x)<0$）．
函数极限与数列极限的关系：若 $\lim\limits _{x\to x _0}f(x)$ 存在，$\{x _n\}$ 为 $f(x)$ 定义域内任意一个收敛于 $x _0$ 的数列，且对于任意的正整数 $n$ 都有 $x _n\neq x _0$，则函数值数列 $\{f(x _n)\}$ 必定收敛，且 $\lim\limits _{n\to\infty}f(x _n)=\lim\limits _{x\to x _0}f(x)$．

证明极限 $\lim\limits _{x\to x _0}f(x)$ 不存在的方法．

取 $n\to\infty$ 时 $x _n\to x _0$ 的子数列 $\{x _n\}$，证明 $\lim\limits _{n\to\infty}f(x _n)$ 不存在．
取两个子数列 $\{x _n\}$ 和 $\{y _n\}$，证明二者的极限不相等．

注意，$\lim\limits _{n\to\infty}f(x _n)$ 存在并不能证明 $\lim\limits _{x\to x _0}f(x)$ 也存在，如函数

$$ f(x)=\begin{cases} x-1,& &x<0\\\\ 0,& &x=0\\\\ x+1,& &x>0 \end{cases} $$

此时取子数列 $x _n=\dfrac{1}{n}$ 即可得到反例．

无穷小与无穷大

此处不给出无穷小和无穷大的定义，但需要注意的是，无穷小和无穷大指的是函数而不是某个具体的数．

了解：在自变量的同一变化过程 $x\to x _0$（或 $x\to\infty$）中，函数 $f(x)$ 具有极限 $A$ 的充要条件是 $f(x)=A+\alpha$，其中 $\alpha$ 是无穷小．

一个无穷大与另一个无穷大作和不一定是无穷大，一个常数与一个无穷大相乘也不一定是无穷大．

有限个无穷小之和仍是无穷小，有限个无穷小的乘积仍是无穷小．

有界函数与无穷小的乘积是无穷小．

若 $\varphi(x)\geqslant\psi(x)$，且 $\lim\varphi(x)=A$，$\lim\psi(x)=B$，则 $A\geqslant B$．

极限存在准则与两个重要极限

数列夹逼准则

对数列 $\{x _n\},\,\{y _n\},\,\{z _n\}$ 而言，若 $\exists\,n _0\in\mathbf{N _+}$，当 $n>n _0$ 时有 $y _n\leqslant x _n\leqslant z _n$，且 $\lim\limits _{n\to\infty}y _n=\lim\limits _{n\to\infty}z _n=a$，则有 $\lim\limits _{n\to\infty}x _n=a$．

函数夹逼准则

若当 $x\in \overset{\circ}{U}(x _0,r)$（或 $|\,x\,|>M$）时有 $g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)$，且 $\lim\limits _{\substack{x\to x _0\\\\(x\to\infty)}}g(x)=\lim\limits _{\substack{x\to x _0\\\\(x\to\infty)}}h(x)=A$，则有 $\lim\limits _{\substack{x\to x _0\\\\(x\to\infty)}}f(x)=A$．

单侧极限存在准则

若函数 $f(x)$ 在点 $x _0$ 的某个左邻域内单调且有界，则 $f(x)$ 在 $x _0$ 的左极限 $f(x _0^-)$ 必定存在．

柯西极限存在准则

数列 $\{x _n\}$ 收敛的充要条件：$\forall\,\varepsilon>0,\,\exists\,N\in\mathbf{N _+},\,\{\,m,\,n>N\Rightarrow|\,x _n-x _m\,|<\varepsilon\,\}$．

两个重要极限

两个重要极限指的是 $\lim\limits _{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ 和 $\lim\limits _{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=\text{e}$，必须牢记且掌握相关变式．

幂指函数的极限：$\lim\limits _{x\to x _0}u(x)^{v(x)}=\lim\limits _{x\to x _0}u(x)^{\lim\limits _{x\to x _0}v(x)}$．

无穷小的比较

常用等价无穷小关系式

在 $x\to 0$ 时，有：

$x\sim\sin x\sim\tan x\sim\arcsin x$；
$\log _a(1+x)\sim\dfrac{x}{\ln a}$；
$\text{e}^x-1\sim x$；
$(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x$．

函数的连续性与间断点

连续

设函数 $f(x)$ 在点 $x _0$ 的某一邻域内有定义，若 $\lim\limits _{x\to x _0}f(x)=f(x _0)$，则称 $f(x)$ 在 $x _0$ 处连续．

连续的定义满足条件可归纳为：

$f(x)$ 在点 $x _0$ 处有极限；
$f(x)$ 在点 $x _0$ 处有定义；
$\lim\limits _{x\to x _0}f(x)=f(x _0)$．

函数 $f(x)$ 在点 $x _0$ 处连续的充要条件是其在该点处左右连续同时成立，即 $f(x _0^-)=f(x _0^+)=f(x _0)$．

一切初等函数在其定义区间（包含在定义域内的区间）内都是连续的．

间断点

只要破坏上述连续的定义满足条件其一，$x _0$ 就会成为间断点，即：

$f(x)$ 在点 $x _0$ 处没有极限；
$f(x)$ 在点 $x _0$ 处没有定义；
$\lim\limits _{x\to x _0}f(x)\neq f(x _0)$．

间断点按以下标准划分为第一类间断点和第二类间断点：

左右极限都存在的间断点都是第一类间断点；
非第一类间断点都是第二类间断点．

$$ \begin{cases} \text{第一类间断点}\begin{cases} \textbf{可去间断点}\text{（对该点补充或改变函数值后能连续）}\\\\ \textbf{跳跃间断点}\text{（图象在该点处产生跳跃现象）} \end{cases}\\\\ \text{第二类间断点}\begin{cases} \textbf{无穷间断点}\text{（趋于该点，函数极限为无穷大）}\\\\ \textbf{振荡间断点}\text{（图象在该点附近产生急剧振荡现象）} \end{cases} \end{cases} $$

闭区间上连续函数的性质

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得其最大值和最小值．

零点存在性定理：和高中定义相同．

介值定理：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[\,a,b\,]$ 上连续，$f(a)=A$，$f(b)=B$，$A\neq B$，则有

$$ \forall\,C\in(\,A,B\,),\,\exists\,\xi\in(\,a,b\,),\,f(\xi)=C $$

向量代数

向量的运算

向量的加法、减法与数乘的定义和高中定义相同．

记与向量 $\boldsymbol{a}$ 同方向的单位向量为 $\boldsymbol{e} _a$，则有

$$ \boldsymbol{e} _a=\dfrac{\boldsymbol{a}}{|\,\boldsymbol{a}\,|} $$

设向量 $\boldsymbol{a}\neq\boldsymbol{0}$，则向量 $\boldsymbol{b}$ 平行于 $\boldsymbol{a}$ 的充要条件是存在唯一的实数 $\lambda$ 使得 $\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$．

方向角与方向余弦

非零向量 $\boldsymbol{r}$ 与三条坐标轴的夹角 $\alpha,\,\beta,\,\gamma$ 称为方向角．

设 $\boldsymbol{r}=(x,y,z)$，则有

$$ \begin{cases} \cos\alpha=\dfrac{x}{|\,\boldsymbol{r}\,|}\\\\ \cos\beta=\dfrac{y}{|\,\boldsymbol{r}\,|}\\\\ \cos\gamma=\dfrac{z}{|\,\boldsymbol{r}\,|} \end{cases} $$

记 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 为 $\boldsymbol{r}$ 的方向余弦，易知其本质为 $\boldsymbol{e} _r$，即 $\boldsymbol{e} _r=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$，且有

$$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1 $$

成立．

向量在轴上的投影

设由点 $O$ 与单位向量 $\boldsymbol{e}$ 确定一条 $u$ 轴，且轴外一点 $A$ 在轴上的投影为 $A'$，记 $\boldsymbol{r}=\overrightarrow{OA}$．

若 $\boldsymbol{r}=\lambda\boldsymbol{e}$，则 $\lambda$ 称为 $\boldsymbol{r}$ 在 $u$ 轴上的投影，记为 $\text{Prj} _u\boldsymbol{r}$ 或 $(\boldsymbol{r}) _u$．

注意事项

向量在轴上的投影是一个数，而不是一个向量．

数量积

设 $\theta$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 与向量 $\boldsymbol{b}$ 的夹角，则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的数量积为

$$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\,\boldsymbol{a}\,|\cdot|\,\boldsymbol{b}\,|\cdot\cos\theta $$

数量积满足交换律、分配律和与数的结合律：

$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}$；
$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}$；
$(\lambda\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot(\lambda\boldsymbol{b})=\lambda(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})$．

$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$ 的充要条件是 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$．

设在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中，$\boldsymbol{a}=(a _x,a _y,a _z)$，$\boldsymbol{b}=(b _x,b _y,b _z)$，则

$$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a _xb _x+a _yb _y+a _zb _z $$

向量积

设 $\theta$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 与向量 $\boldsymbol{b}$ 的夹角，则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的向量积为

$$ \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} $$

其中

$$ |\,\boldsymbol{c}\,|=|\,\boldsymbol{a}\,|\cdot|\,\boldsymbol{b}\,|\cdot\sin\theta $$

且 $\boldsymbol{c}$ 的方向由右手定则确定：右手四指沿 $\boldsymbol{a}$ 的方向转向 $\boldsymbol{b}$ 的方向时大拇指所指的方向．

由定义可知：

$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}$；
$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a}$．

向量积不满足交换律，但仍满足分配律和与数的结合律：

$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}$；
$(\lambda\boldsymbol{a})\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\times(\lambda\boldsymbol{b})=\lambda(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})$．

$\boldsymbol{a}\mathop{//}\boldsymbol{b}$ 的充要条件是 $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$．

设在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中，$\boldsymbol{a}=(a _x,a _y,a _z)$，$\boldsymbol{b}=(b _x,b _y,b _z)$，则

$$ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\left|\;\begin{matrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\\\ a _x & a _y & a _z \\\\ b _x & b _y & b _z \end{matrix}\;\right| $$

混合积

设在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中，$\boldsymbol{a}=(a _x,a _y,a _z)$，$\boldsymbol{b}=(b _x,b _y,b _z)$，$\boldsymbol{c}=(c _x,c _y,c _z)$，则此三向量的混合积为

$$ \begin{align} [\,\boldsymbol{a}\,\boldsymbol{b}\,\boldsymbol{c}\,]&=(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}\\\\ &=\left|\;\begin{matrix} a _x & a _y & a _z \\\\ b _x & b _y & b _z \\\\ c _x & c _y & c _z \end{matrix}\;\right| \end{align} $$

$\boldsymbol{a},\,\boldsymbol{b},\,\boldsymbol{c}$ 共面的充要条件是 $[\,\boldsymbol{a}\,\boldsymbol{b}\,\boldsymbol{c}\,]=0$．

注意事项

数量积和混合积的计算结果是一个数，而向量积的计算结果是一个向量．

空间解析几何

平面

平面的一般式方程

平面 $\varPi$ 的一般式方程是一个三元一次不等式，即

$$ Ax+By+Cz+D=0 $$

批注

由一般式方程可以导出一些特殊平面的方程，如：

当 $A=0$、而 $BC\neq 0$ 时，方程 $By+Cz+D=0$ 表示一个平行于 $x$ 轴的平面；
当 $A=B=0$、而 $C\neq 0$ 时，方程 $Cz+D=0$ 表示一个平行于平面 $xOy$ 的平面．

平面的点法式方程

设平面 $\varPi$ 过点 $M(x _0,y _0,z _0)$，且法向量 $\boldsymbol{n}=(A,B,C)$，则其点法式方程为

$$ A(x-x _0)+B(y-y _0)+C(z-z _0)=0 $$

平面的截距式方程

设平面 $\varPi$ 在三条坐标轴上的截距分别为 $a,\,b,\,c$，则其截距式方程为

$$ \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1 $$

两个平面的夹角

两个平面的夹角为二者法向量的夹角，通常规定为锐角或直角．

设平面 $\varPi _1$ 的法向量为 $\boldsymbol{n} _1=(A _1,B _1,C _1)$，平面 $\varPi _2$ 的法向量为 $\boldsymbol{n} _2=(A _2,B _2,C _2)$，则夹角 $\theta$ 的余弦值为

$$ \cos\theta=\dfrac{|\,A _1A _2+B _1B _2+C _1C _2\,|}{\sqrt{A _1^2+B _1^2+C _1^2}\cdot\sqrt{A _2^2+B _2^2+C _2^2}} $$

由该结论可得：

$\varPi _1\perp\varPi _2\Leftrightarrow A _1A _2+B _1B _2+C _1C _2=0$；
$\varPi _1\mathop{//}\varPi _2\Leftrightarrow\dfrac{A _1}{A _2}=\dfrac{B _1}{B _2}=\dfrac{C _1}{C _2}$．

点到平面的距离

设 $P _0(x _0,y _0,z _0)$ 是平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 外一点，则 $P _0$ 到该平面的距离为

$$ d=\dfrac{|\,Ax _0+By _0+Cz _0+D\,|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} $$

空间直线

直线的一般式方程

两个平面的交线即为空间直线，故直接联立有

$$ \begin{cases} A _1x+B _1y+C _1z+D _1=0\\\\ A _2x+B _2y+C _2z+D _2=0 \end{cases} $$

直线的对称式方程

平行于给定直线的向量称为该直线的方向向量．

设直线过点 $M(x _0,y _0,z _0)$，且其方向向量 $\boldsymbol{s}=(m,n,p)$，则其对称式方程为

$$ \dfrac{x-x _0}{m}=\dfrac{y-y _0}{n}=\dfrac{z-z _0}{p} $$

注意事项

$m,\,n,\,p$ 可以为零：

当其中一个参数为零，如 $m=0$ 而 $n,\,p\neq 0$ 时，对称式方程应理解为 $$ \begin{cases} x-x _0=0\\\\ \dfrac{y-y _0}{n}=\dfrac{z-z _0}{p} \end{cases} $$
当其中两个参数为零，如 $m,\,n=0$ 而 $p\neq 0$ 时，对称式方程应理解为 $$ \begin{cases} x-x _0=0\\\\ y-y _0=0 \end{cases} $$

直线的参数方程

由对称式方程导出：设有

$$ \dfrac{x-x _0}{m}=\dfrac{y-y _0}{n}=\dfrac{z-z _0}{p}=t $$

则参数方程为

$$ \begin{cases} x=x _0+mt\\\\ y=y _0+nt\\\\ z=z _0+pt \end{cases} $$

两条直线的夹角

两条直线的夹角为二者方向向量的夹角，通常规定为锐角或直角．

设直线 $l _1$ 的方向向量为 $\boldsymbol{s} _1=(m _1,n _1,p _1)$，直线 $l _2$ 的方向向量为 $\boldsymbol{s} _2=(m _2,n _2,p _2)$，则夹角 $\varphi$ 的余弦值为

$$ \cos\varphi=\dfrac{|\,m _1m _2+n _1n _2+p _1p _2\,|}{\sqrt{m _1^2+n _1^2+p _1^2}\cdot\sqrt{m _2^2+n _2^2+p _2^2}} $$

由该结论可得：

$l _1\perp l _2\Leftrightarrow m _1m _2+n _1n _2+p _1p _2=0$；
$l _1\mathop{//}l _2\Leftrightarrow\dfrac{m _1}{m _2}=\dfrac{n _1}{n _2}=\dfrac{p _1}{p _2}$．

直线与平面的夹角

当直线与平面不垂直时，直线与其在平面上的投影直线的夹角称为该直线与平面的夹角，规定为锐角．

设直线 $l$ 的方向向量为 $\boldsymbol{s}=(m,n,p)$，平面 $\varPi$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}=(A,B,C)$，则夹角 $\varphi$ 的正弦值为

$$ \sin\varphi=\dfrac{|\,Am+Bn+Cp\,|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\cdot\sqrt{m^2+n^2+p^2}} $$

由该结论可得：

$l\perp\varPi\Leftrightarrow\dfrac{A}{m}=\dfrac{B}{n}=\dfrac{C}{p}$；
$l\mathop{//}\varPi\Leftrightarrow Am+Bn+Cp=0$．

注意事项

在有关平行与垂直的结论中：

两个平面与两条直线的情况均为垂直乘积和为零，平行对应成比例；
直线与平面的情况为平行乘积和为零，垂直对应成比例．

平面束

通过定直线的所有平面的全体称为平面束．

设直线 $l$ 由方程组

$$ \begin{cases} A _1x+B _1y+C _1z+D _1=0\\\\ A _2x+B _2y+C _2z+D _2=0 \end{cases} $$

确定，要求 $A _1,\,B _1,\,C _1$ 与 $A _2,\,B _2,\,C _2$ 不成比例，则通过 $l$ 的平面束方程为

$$ A _1x+B _1y+C _1z+D _1+\lambda(A _2x+B _2y+C _2z+D _2)=0 $$

其中 $\lambda$ 为任意常数．

例题

求直线 $\begin{cases}x+y-z-1=0\\\\ x-y+z+1=0\end{cases}\;$ 在平面 $x+y+z=0$ 上投影直线的方程．

解：过该直线的平面束的方程为

$$ x+y-z-1+\lambda(x-y+z+1)=0 $$

整理可得

$$ (1+\lambda)x+(1-\lambda)y+(\lambda-1)z+(\lambda-1)=0 $$

由平面间的垂直关系可知，若此平面与平面 $x+y+z=0$ 垂直，则有

$$ (1+\lambda)\cdot 1+(1-\lambda)\cdot 1+(\lambda-1)\cdot 1=0 $$

解得 $\lambda=-1$，将其代入平面束方程中，可得垂直平面为

$$ y-z-1=0 $$

故投影直线方程为

$$ \begin{cases} y-z-1=0\\\\ x+y+z=0 \end{cases} $$

曲面

球面

球面的方程为

$$ Ax^2+Ay^2+Az^2+Dx+Ey+Fz+G=0 $$

其中：

$A\neq 0$；
$D^2+E^2+F^2>4AG$．

旋转曲面

在空间直角坐标系 $Ouvw$ 中，求位于 $uOv$ 平面上的、方程为 $f(u,v)=0$ 的曲线绕 $u$ 轴旋转后所形成的曲面的方程的步骤如下：

方程名 $f$ 与旋转轴名 $u$ 保持不变；
以 $\pm\sqrt{v^2+w^2}$ 替代原方程中的 $v$；
方程 $f(u,\pm\sqrt{v^2+w^2})=0$ 即为所求的旋转曲面方程．

结论举例

位于 $xOy$ 平面上的曲线 $C$ 的方程为 $f(x,y)=0$，其绕 $y$ 轴旋转所形成的旋转曲面的方程为 $f(\pm\sqrt{x^2+z^2},y)=0$．

将位于 $xOz$ 平面上的双曲线

$$ \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1 $$

绕 $z$ 轴旋转一周，所形成的旋转曲面称为旋转单叶双曲面，其方程为

$$ \dfrac{x^2+y^2}{a^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1 $$

而绕 $x$ 轴旋转一周，所形成的旋转曲面称为旋转双叶双曲面，其方程为

$$ \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2+z^2}{c^2}=1 $$

柱面

只含 $x,\,y$ 而不含 $z$ 的方程 $F(x,y)=0$ 在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中表示母线平行于 $z$ 轴的柱面，其准线为

$$ \begin{cases} F(x,y)=0\\\\ z=0 \end{cases} $$

二次曲面

由三元二次方程 $F(x,y,z)=0$ 所表示的曲面称为二次曲面；对应地，称平面为一次曲面．

平面 $z=t$ 与曲面 $F(x,y,z)=0$ 的交线称为截痕，通过综合截痕的变化了解曲面形状的方法称为截痕法．

将曲面 $F(u,v,w)=0$ 沿 $u$ 轴方向伸缩 $\lambda$ 倍后得到的新曲面方程为 $F\left(\dfrac{u}{\lambda},v,w\right)=0$．

下面给出部分常见二次曲面的方程．

椭圆锥面：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=z^2$．
- 通过截痕法了解．
椭球体：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$．
- 将位于 $xOz$ 平面上的椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$ 绕 $z$ 轴旋转后得到旋转椭球面 $$ \dfrac{x^2+y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1 $$
- 将该旋转椭球面沿 $y$ 轴方向伸缩 $\dfrac{b}{a}$ 倍后即可得到椭球体．
椭圆抛物面：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=z$．
- 将位于 $xOz$ 平面上的抛物线 $\dfrac{x^2}{a^2}=z$ 绕 $z$ 轴旋转后得到旋转抛物面 $$ \dfrac{x^2+y^2}{a^2}=z $$
- 将该旋转抛物面沿 $y$ 轴方向伸缩 $\dfrac{b}{a}$ 倍后即可得到椭圆抛物面．
单叶双曲面：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$．
- 将旋转单叶双曲面沿 $y$ 轴方向伸缩 $\dfrac{b}{a}$ 倍后即可得到单叶双曲面．
双叶双曲面：$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$．
- 将旋转双叶双曲面沿 $y$ 轴方向伸缩 $\dfrac{b}{c}$ 倍后即可得到双叶双曲面．
双曲抛物面：$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=z$．
- 通过截痕法了解．

空间曲线

曲线的一般式方程

两个曲面的交线即为空间曲线，故直接联立有

$$ \begin{cases} F(x,y,z)=0\\\\ G(x,y,z)=0 \end{cases} $$

曲线的参数方程

将曲线上动点的坐标 $(x,y,z)$ 用参数 $t$ 表示即可得到其参数方程为

$$ \begin{cases} x=x(t)\\\\ y=y(t)\\\\ z=z(t) \end{cases} $$

曲线在坐标面上的投影

以投影面为 $xOy$ 平面为例，对曲线 $C$ 的方程

$$ \begin{cases} F(x,y,z)=0\\\\ G(x,y,z)=0 \end{cases} $$

消去 $z$ 后得到柱面方程 $H(x,y)=0$，再加以限制即可得到其在 $xOy$ 平面上的投影方程为

$$ \begin{cases} H(x,y)=0\\\\ z=0 \end{cases} $$

无穷级数

常数项级数的定义

对于无穷项数列 $\{u _n\}$ 而言，$\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n$ 称为常数项级数．

若级数 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n$ 的部分和数列 $\{s _n\}$ 有极限，即

$$ \lim\limits _{n\to\infty}s _n=s $$

则称该级数收敛，否则称其发散．

当级数 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n$ 收敛时，称极限与部分和的差

$$ r _n=u _{n+1}+u _{n+2}+\cdots $$

为该级数的余项．

常数项级数的性质

常数项级数的性质如下所示．

两个级数可以逐项相加或逐项相减．
在级数中增删或改变有限项，不会改变该级数的敛散性．
- 不代表级数的和不会发生变化．
若级数 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n$ 收敛，则对该级数的项任意加括号后所形成的级数 $$ (u _1+\cdots+u _{n _1})+(u _{n _1+1}+\cdots+u _{n _2})+\cdots+(u _{n _{k-1}+1}+\cdots+u _{n _k})+\cdots $$

仍收敛，且和不变．
- 若加括号后的级数发散，则原级数发散．
若级数 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n$ 收敛，则其一般项趋于零，即 $\lim\limits _{n\to\infty}u _n=0$．

柯西审敛原理：级数 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n$ 收敛的充要条件为

$$ \begin{aligned} &\forall\,\varepsilon>0,\,\exists\,N\in\mathbf{N} _+\\\\ s.t.\qquad &n>N,\,\forall\,p\in\mathbf{N} _+\Rightarrow|\,u _{n+1}+u _{n+2}+\cdots+u _{n+p}\,|<\varepsilon \end{aligned} $$

常用级数的敛散性

等比级数

形如

$$ \displaystyle\sum\limits _{i=0}^\infty aq^i=a+aq+aq^2+\cdots+aq^n+\cdots $$

的级数称为等比级数，当 $|\,q\,|<1$ 时该级数收敛，否则发散．

调和级数

形如

$$ \displaystyle\sum\limits _{i=1}^\infty\dfrac{1}{i}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}+\cdots $$

的级数称为调和级数，其一定是发散的．

p 级数

形如

$$ \displaystyle\sum\limits _{i=1}^\infty\dfrac{1}{i^p}=1+\dfrac{1}{2^p}+\dfrac{1}{3^p}+\cdots+\dfrac{1}{n^p}+\cdots $$

的级数称为 $p$ 级数，当 $|\,p\,|>1$ 时该级数收敛，否则发散．

批注

当 $p=1$ 时，$p$ 级数转化为调和级数．

正项级数

正项级数的定义与性质

各项均为非负数的级数称为正项级数．

正项级数 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n$ 收敛的充要条件为部分和数列 $\{s _n\}$ 有界．

比较审敛法的一般形式

设 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n$ 和 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty v _n$ 均为正项级数，且 $u _n\leqslant v _n$（$n\in\mathbf{N} _+$），则

若 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty v _n$ 收敛，则 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n$ 一定收敛；
若 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n$ 发散，则 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty v _n$ 一定发散．

比较审敛法的极限形式

比较审敛法的极限形式解决了其在一般形式下难以寻找另一个级数达成“放缩比较”目的的问题．

设 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n$ 和 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty v _n$ 均为正项级数，记 $l=\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}\dfrac{u _n}{v _n}$，则

若 $l\in[\,\,0,+\infty\,)$，且 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty v _n$ 收敛，则 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n$ 收敛；
若 $l\in(\,0,+\infty\,)\cup\{\,+\infty\,\}$，且 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty v _n$ 发散，则 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n$ 发散．

注意事项

此处 $l\in(\,0,+\infty\,)\cup\{\,+\infty\,\}$ 表示 $l>0$ 或 $l=+\infty$，若不作特殊说明，下面将沿用这一记法．

比值审敛法

比值审敛法又称为达朗贝尔判别法．

设 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n$ 为正项级数，记 $\lim\limits _{n\to\infty}\dfrac{u _{n+1}}{u _n}=\rho$，则

当 $\rho<1$ 时，该级数收敛；
当 $\rho>1$ 或 $\rho=\infty$ 时，该级数发散；
当 $\rho=1$ 时，无法判断．

根值审敛法

根值审敛法又称为柯西判别法．

设 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n$ 为正项级数，记 $\rho=\lim\limits _{n\to\infty}\sqrt[n]{u _n}$，则

当 $\rho<1$ 时，该级数收敛；
当 $\rho>1$ 或 $\rho=+\infty$ 时，该级数发散；
当 $\rho=1$ 时，无法判断．

交错级数

交错级数的定义

形如

$$ u _1-u _2+u _3-u _4+\cdots $$

或

$$ -u _1+u _2-u _3+u _4-\cdots $$

的级数称为交错级数，其中 $u _n>0$（$n\in\mathbf{N} _+$）．

莱布尼茨定理

若交错级数 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u _n$ 满足以下条件：

$u _n\geqslant u _{n+1}$（$n\in\mathbf{N} _+$）；
$\lim\limits _{n\to\infty}u _n=0$．

则该级数收敛，且其和 $s\leqslant u _1$，而余项的绝对值 $|\,r _n\,|\leqslant u _{n+1}$．

任意项级数

任意项级数的审敛法

设 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n$ 为任意项级数，记 $l=\lim\limits _{n\to\infty}\left|\,\dfrac{u _{n+1}}{u _n}\,\right|$，则

当 $l<1$ 时，该级数绝对收敛；
当 $l>1$ 或 $l=+\infty$ 时，该级数发散；
当 $l=1$ 时，无法判断．

函数项级数

对于定义在区间 $I$ 上的函数列 $\{u _n(x)\}$ 而言，$\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n(x)$ 称为函数项级数．

对每个确定的值 $x _0\in I$，函数项级数 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n(x)$ 转化为常数项级数 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n(x _0)$，则

若常数项级数 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n(x _0)$ 收敛，则称点 $x _0$ 为函数项级数 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n(x)$ 的收敛点；
若常数项级数 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n(x _0)$ 发散，则称点 $x _0$ 为函数项级数 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n(x)$ 的发散点．

收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域．

在收敛域上，若函数项级数 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n(x)$ 的和经过整理化简后可得到一个关于 $x$ 的函数 $s(x)$，即

$$ s(x)=\sum\limits _{n=1}^\infty u _n(x) $$

则称 $s(x)$ 为该级数的和函数，且其定义域为级数的收敛域．

记函数项级数 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty u _n(x)$ 的前 $n$ 项部分和为 $s _n(x)$，则在收敛域上有

$$ \lim\limits _{n\to\infty}s _n(x)=s(x) $$

与常数项级数类似，在收敛域上，$r _n(x)=s(x)-s _n(x)$ 称为函数项级数的余项，且 $\lim\limits _{n\to\infty}r _n(x)=0$．

幂级数

幂级数的运算

下面给出幂级数的相关运算公式及其性质．

幂级数 $\displaystyle\sum\limits _{n=0}^\infty a _nx^n$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛域 $I$ 上连续．
幂级数 $\displaystyle\sum\limits _{n=0}^\infty a _nx^n$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛域 $I$ 上可积，且有逐项积分公式 $$ \begin{aligned} \displaystyle\int _0^xs(t)\text{d}t&=\int _0^x\left[\,\sum\limits _{n=0}^\infty a _nt^n\right]\text{d}t=\sum\limits _{n=0}^\infty\int _0^xa _nt^n\text{d}t\\\\ &=\sum\limits _{n=0}^\infty\dfrac{a _n}{n+1}x^{n+1}\qquad (\,x\in I\,) \end{aligned} $$

逐项积分后所得到的幂级数与原级数具有相同的收敛半径，但二者收敛域不一定相同．
幂级数 $\displaystyle\sum\limits _{n=0}^\infty a _nx^n$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛区间 $(\,-R,R\,)$ 内可导，且有逐项求导公式 $$ \displaystyle s'(x)=\left(\,\sum\limits _{n=0}^\infty a _nx^n\right)'=\sum\limits _{n=0}^\infty(a _nx^n)'=\sum\limits _{n=1}^\infty na _nx^{n-1}\qquad (\,-R<x<R\,) $$

逐项求导后所得到的幂级数与原级数具有相同的收敛半径，但二者收敛域不一定相同．

函数展开成幂级数

常用的幂级数展开式有：

$\displaystyle\text{e}^x=\sum\limits _{n=0}^\infty\dfrac{1}{n!}x^n$（$-\infty<x<+\infty$）；
$\displaystyle\sin x=\sum\limits _{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$（$-\infty<x<+\infty$）；
$\displaystyle\dfrac{1}{1-x}=\sum\limits _{n=0}^\infty x^n$（$-1<x<1$）．

其余大多数函数的幂级数展开式均可由上面三式推得．

例题

将函数 $f(x)=(1-x)\ln(1+x)$ 展开成 $x$ 的幂级数．

解：将级数公式 $\displaystyle\dfrac{1}{1-x}=\sum\limits _{n=0}^\infty x^n$ 中的 $x$ 替换为 $-x$ 可得

$$ \displaystyle\dfrac{1}{1+x}=\sum\limits _{n=0}^\infty(-1)^nx^n\qquad (\,-1<x<1\,) $$

对上式两端积分有

$$ \displaystyle\ln(1+x)=\sum\limits _{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}=\sum\limits _{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}x^n\qquad (\,-1<x\leqslant 1\,) $$

故

$$ \begin{aligned} f(x)&=(1-x)\ln(1+x)=\ln(1+x)-x\ln(1+x)\\\\ &=\sum\limits _{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}x^n-\sum\limits _{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n+1}\\\\ &=\sum\limits _{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}x^n-\sum\limits _{n=2}^\infty\dfrac{(-1)^n}{n-1}x^n\\\\ &=x+\sum\limits _{n=2}^\infty\dfrac{(-1)^{n+1}(2n-1)}{n(n-1)}x^n\qquad (\,-1<x\leqslant 1\,) \end{aligned} $$

例题

将函数 $f(x)=\dfrac{1}{x^2+4x+3}$ 展开成 $(x-1)$ 的幂级数．

解：由于

$$ \begin{aligned} \displaystyle f(x)&=\dfrac{1}{x^2+4x+3}=\dfrac{1}{(x+1)(x+3)}=\dfrac{1}{2(1+x)}-\dfrac{1}{2(3+x)}\\\\ &=\dfrac{1}{4\left(1+\dfrac{x-1}{2}\right)}-\dfrac{1}{8\left(1+\dfrac{x-1}{4}\right)} \end{aligned} $$

而

$$ \begin{cases} \displaystyle\dfrac{1}{4\left(1+\dfrac{x-1}{2}\right)}=\dfrac{1}{4}\sum\limits _{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{2^n}(x-1)^n& &(\,-1<x<3\,)\\\\ \displaystyle\dfrac{1}{8\left(1+\dfrac{x-1}{4}\right)}=\dfrac{1}{8}\sum\limits _{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{4^n}(x-1)^n& &(\,-3<x<5\,) \end{cases} $$

故

$$ f(x)=\dfrac{1}{x^2+4x+3}=\sum\limits _{n=0}^\infty(-1)^n\left(\dfrac{1}{2^{n+2}}-\dfrac{1}{2^{2n+3}}\right)(x-1)^n\qquad (\,-1<x<3\,) $$

三角级数

三角函数的定义与性质

以 $2\pi$ 为周期的三角级数为

$$ \dfrac{a _0}{2}+\sum\limits _{n=1}^\infty(a _n\cos nx+b _n\sin nx) $$

三角函数系

$$ 1,\,\cos x,\,\sin x,\,\cos 2x,\,\sin 2x,\,\cdots,\cos nx,\,\sin nx,\,\cdots $$

在区间 $[\,-\pi,\pi\,]$ 上正交，即三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在 $[\,-\pi,\pi\,]$ 上的积分为零．

傅里叶级数

设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，且能展开成三角级数

$$ \displaystyle f(x)=\dfrac{a _0}{2}+\sum\limits _{k=1}^\infty(a _k\cos kx+b _k\sin kx) $$

则级数中各项的系数为

$$ \begin{cases} \displaystyle a _n=\dfrac{1}{\pi}\int _{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot\cos nx\text{d}x,& &\,n=0,\,1,\,2,\,3,\,\cdots\\\\ \displaystyle b _n=\dfrac{1}{\pi}\int _{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot\sin nx\text{d}x,& &n=1,\,2,\,3,\,\cdots \end{cases} $$

若上式中所有的积分均存在，则其确定的各项系数 $a _0,\,a _1,\,b _1,\,\cdots$ 称为 $f(x)$ 的傅里叶系数，而将其代入原级数所得到的三角级数

$$ \dfrac{a _0}{2}+\sum\limits _{n=1}^\infty(a _n\cos nx+b _n\sin nx) $$

称为 $f(x)$ 的傅里叶级数．

收敛定理

此处的收敛定理指的是狄利克雷充分条件．

设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，若其满足：

在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；
在一个周期内至多只有有限个间断点．

则 $f(x)$ 的傅里叶级数收敛，且

当点 $x$ 是 $f(x)$ 的连续点时，级数收敛于 $f(x)$；
当点 $x$ 是 $f(x)$ 的间断点时，级数收敛于 $\dfrac{1}{2}[\,f(x^-)+f(x^+)\,]$．

正弦级数与余弦级数

奇函数 $f(x)$ 的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^\infty b _n\sin nx$，即其傅里叶系数为

$$ \begin{cases} \displaystyle a _n=0,& &\,n=0,\,1,\,2,\,3,\,\cdots\\\\ \displaystyle b _n=\dfrac{2}{\pi}\int _0^{\pi}f(x)\cdot\sin nx\text{d}x,& &n=1,\,2,\,3,\,\cdots \end{cases} $$

偶函数 $f(x)$ 的傅里叶级数是只含有余弦项的正弦级数 $\displaystyle\dfrac{a _0}{2}+\sum\limits _{n=1}^\infty a _n\cos nx$，即其傅里叶系数为

$$ \begin{cases} \displaystyle a _n=\dfrac{2}{\pi}\int _{0}^{\pi}f(x)\cdot\cos nx\text{d}x,& &\,n=0,\,1,\,2,\,3,\,\cdots\\\\ \displaystyle b _n=0,& &n=1,\,2,\,3,\,\cdots \end{cases} $$

若需要将定义在 $[\,0,\pi\,]$ 上的函数展开成正弦级数或余弦级数，则可进行奇延拓或偶延拓，令其在 $(\,-\pi,\pi\,)$ 内成为奇函数或偶函数．

高等数学基础与杂论

http://blog.kksk.tech/2024/02/09/高等数学基础与杂论/

Author

KoSaking

Posted on

2024-02-09

Updated on

2025-10-12

Licensed under

高等数学基础与杂论

函数与极限

函数的性质

函数的分类

数列的极限

数列极限的定义

收敛数列的性质

函数的极限

函数极限的定义

函数极限的性质

无穷小与无穷大

极限存在准则与两个重要极限

数列夹逼准则

函数夹逼准则

单侧极限存在准则

柯西极限存在准则

两个重要极限

无穷小的比较

相关定义

相关定理

常用等价无穷小关系式

函数的连续性与间断点

连续

间断点

闭区间上连续函数的性质

向量代数

向量的运算

方向角与方向余弦

向量在轴上的投影

数量积

向量积

混合积

空间解析几何

平面

平面的一般式方程

平面的点法式方程

平面的截距式方程

两个平面的夹角

点到平面的距离

空间直线

直线的一般式方程

直线的对称式方程

直线的参数方程

两条直线的夹角

直线与平面的夹角

平面束

曲面

球面

旋转曲面

柱面

二次曲面

空间曲线

曲线的一般式方程

曲线的参数方程

曲线在坐标面上的投影

无穷级数

常数项级数的定义

常数项级数的性质

常用级数的敛散性

等比级数

调和级数

p 级数

正项级数

正项级数的定义与性质

比较审敛法的一般形式

比较审敛法的极限形式

比值审敛法

根值审敛法

交错级数

交错级数的定义

莱布尼茨定理

任意项级数

相关定义与性质

任意项级数的审敛法

函数项级数

幂级数

相关定义与定理

幂级数的运算

函数展开成幂级数

三角级数