微分学概论
- 本文所有理论来源为同济大学数学系主编的《高等数学》第七版教材．
- 出于复习需要，本文仅收录较为重要的，或容易遗忘的性质、定理与公式等．
- 若存在错误或表达不规范之处，请通过邮箱联系加以指正．
导数与微分
可导的概念
函数 $f(x)$ 在点 $x _0$ 处可导指的是极限 $\lim\limits _{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits _{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x _0+\Delta x)-f(x _0)}{\Delta x}$ 存在．
函数 $f(x)$ 在点 $x _0$ 处可导要求其在 $x _0$ 的某个邻域内有定义．
注意事项
此处要求的是邻域而不是去心邻域，换而言之，$f(x)$ 在 $x _0$ 处可导的前提是在 $x _0$ 处有定义．
函数 $f(x)$ 在点 $x _0$ 处可导的充要条件是左右导数存在且相等，即
$$ f _-'(x _0)=f _+'(x _0) $$
左右导数统称为单侧导数．
若函数 $f(x)$ 在开区间 $(\,a,b\,)$ 内可导，且 $f _+'(a)$ 和 $f _-'(b)$ 均存在，则 $f(x)$ 在闭区间 $[\,a,b\,]$ 上可导．
可导一定连续，但连续不一定可导．
批注
从函数图象的角度可记住此结论：
- 可导的图象是“光滑”的，而连续的图象是“一笔画成”的；
- 可导的图象一定可以一笔画成，但连续的图象可能包含“尖刺”部分而不光滑．
三角函数的求导公式
三角函数的求导公式经整理后发现有一定的规律，如下表所示．
| 求导规律 \ 符号 | 正 | 负 |
|---|---|---|
| 弦系：调换 | $(\sin x)'=\cos x$ | $(\cos x)'=-\sin x$ |
| 切系：下层平方 | $(\tan x)'=\sec^2 x$ | $(\cot x)'=-\csc^2 x$ |
| 割系：自身乘上层 | $(\sec x)'=\sec x\tan x$ | $(\csc x)'=-\csc x\cot x$ |
反三角函数的求导公式也有类似的规律：
| 反三角函数系 \ 符号 | 正 | 负 |
|---|---|---|
| 弦系 | $(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $(\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| 切系 | $(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$ | $(\text{arccot}\,x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}$ |
反函数的求导法则
若函数 $x=f(y)$ 在区间 $I _y$ 内单调、可导且 $f'(y)\neq 0$，则其反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在区间 $I _x=\{\,x\,|\,x=f(y),\,y\in I _y\,\}$ 内也可导，且有
$$ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=\dfrac{1}{\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y}} $$
隐函数的求导法则
通常将给定的方程两端分别对自变量求导后化简即可．
例题
求由方程确定 $\text{e}^y+xy-\text{e}=0$ 所确定的隐函数的导数．
解：将方程两端分别对 $x$ 求导有
$$ \text{e}^y\cdot y _x'+y+x\cdot y _x'=0 $$
整理可得
$$ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=y _x'=-\dfrac{y}{x+\text{e}^y}\qquad (\,x+\text{e}^y\neq 0\,) $$
在以下场景中，为了简便，我们可将显函数 $y=f(x)$ 视为隐函数，并使用对数求导法求解其导数：
- $y=f(x)$ 是幂指函数，如 $y=x^{\sin x}$；
- $y=f(x)$ 是分式型函数，其中分子和分母都是若干子函数的乘积，如 $y=\dfrac{x^5\cdot\sin x}{\text{e}^x\cdot\ln x}$．
参数方程型函数的求导法则
由参数方程
$$ \begin{cases} x=\varphi(t)\\\\ y=\psi(t) \end{cases} $$
确定的函数的导数为
$$ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=\dfrac{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t}}{\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} $$
若该函数是二阶可导的，则其二阶导数为
$$ \begin{aligned} \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}&=\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\!\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\!\right)\\\\ &=\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\!\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\!\right)\cdot\dfrac{\text{d}t}{\text{d}x}\\\\ &=\dfrac{\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\!\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\!\right)}{\varphi'(t)} \end{aligned} $$
函数的微分
函数 $f(x)$ 在点 $x _0$ 处可微的充要条件是其在 $x _0$ 处可导．
微分 $\text{d}y$ 的计算公式为
$$ \text{d}y=f'(x)\cdot\text{d}x $$
此处的 $\text{d}x$ 是自变量的改变量 $\Delta x$，即 $\text{d}x=\Delta x$．
在实际生活中，我们可用 $\text{d}y$ 近似表示精确值 $\Delta y$．
例题
求 $2.02^3$ 的近似值．
解：设函数 $f(x)=x^3$，取 $x=2$，则 $f'(x)=3x^2$，$\text{d}x=0.02$，故有
$$ 2.02^3\approx\text{d}y+2^3=3\cdot 2^2\cdot 0.02+8=8.24 $$
微分中值定理与导数的应用
费马引理
设函数 $f(x)$ 在点 $x _0$ 的某邻域 $U(x _0)$ 内有定义，并且在 $x _0$ 处可导，若对任意的 $x\in U(x _0)$，有
$$ f(x)\leqslant f(x _0) $$
或
$$ f(x)\geqslant f(x _0) $$
则 $f'(x _0)=0$．
批注
通常称导数等于零的点为函数的驻点．
罗尔定理
若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[\,a,b\,]$ 上连续，在开区间 $(\,a,b\,)$ 内可导，且在区间端点处有 $f(a)=f(b)$，则有
$$ \exists\,\xi\in(\,a,b\,),\,f'(\xi)=0 $$
拉格朗日中值定理
若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[\,a,b\,]$ 上连续，在开区间 $(\,a,b\,)$ 内可导，则有
$$ \exists\,\xi\in(\,a,b\,),\,\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi) $$
批注
拉格朗日中值定理可视为是罗尔定理的推广：将 $f(x)$ 在区间 $[\,a,b\,]$ 上的图象旋转至 $f(a)=f(b)$ 时，即可得到罗尔定理．
柯西中值定理
若函数 $f(x)$ 和 $F(x)$ 在闭区间 $[\,a,b\,]$ 上均连续，在开区间 $(\,a,b\,)$ 内均可导，且对任意的 $x\in(\,a,b\,)$ 都有 $F'(x)\neq 0$，则有
$$ \exists\,\xi\in(\,a,b\,),\,\dfrac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{F'(\xi)} $$
批注
柯西中值定理可视为是拉格朗日中值定理的推广：令 $F(x)=x$ 即可得到拉格朗日中值定理．
洛必达法则
当极限 $\lim\dfrac{f'(x)}{F'(x)}$ 不存在（不是无穷大型的不存在）时，不能使用洛必达法则．
在使用洛必达法则求解极限的值时，可按以下方法简化计算：
- 适当地使用等价无穷小替换部分因子项；
- 将非 $0$ 和 $\infty$ 的因子从分式中移出去．
例题
计算 $\lim\limits _{x\to 0}\dfrac{x^2-\tan x}{\sin x\cos x}$ 的值．
解：使用洛必达法则有
$$ \begin{aligned} \text{原式}&=\lim\limits _{x\to 0}\dfrac{1}{\cos x}\cdot\lim\limits _{x\to 0}\dfrac{x^2-\tan x}{\sin x}\\\\ &=\lim\limits _{x\to 0}\dfrac{x^2}{\sin x}-\lim\limits _{x\to 0}\dfrac{\tan x}{\sin x}\\\\ &=-1 \end{aligned} $$
泰勒公式
带佩亚诺余项形式
若函数 $f(x)$ 在 $x _0$ 处具有 $n$ 阶导数，则
$$ \begin{aligned} &\exists\,U(x _0),\,\forall\,x\in U(x _0)\\\\ s.t.\qquad &f(x)=f(x _0)+f'(x _0)(x-x _0)+\dfrac{f''(x _0)}{2!}(x-x _0)^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(x _0)}{n!}(x-x _0)^n+R _n(x) \end{aligned} $$
其中佩亚诺余项 $R _n(x)=o((x-x _0)^n)$．
上式称为带佩亚诺余项的 $n$ 阶泰勒公式．
带拉格朗日余项形式
若函数 $f(x)$ 在 $x _0$ 的某个邻域 $U(x _0)$ 内具有 $(n+1)$ 阶导数，则
$$ \begin{aligned} &\forall\,x\in U(x _0)\\\\ s.t.\qquad &f(x)=f(x _0)+f'(x _0)(x-x _0)+\dfrac{f''(x _0)}{2!}(x-x _0)^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(x _0)}{n!}(x-x _0)^n+R _n(x) \end{aligned} $$
其中拉格朗日余项 $R _n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x _0)^{n+1}$，$\xi\in(\,x _0,x\,)$．
批注
带拉格朗日余项的泰勒公式较带佩亚诺余项相应者形式上更为统一，且计算结果更为精确．
上式称为带拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式．
当 $n=0$ 时，带拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式转变为拉格朗日中值公式
$$ f(x)=f(x _0)+f'(\xi)(x-x _0),\qquad \xi\in(\,x _0,x\,) $$
麦克劳林公式
带佩亚诺余项形式
在带佩亚诺余项的 $n$ 阶泰勒公式中，若取 $x _0=0$，即可得到带佩亚诺余项的麦克劳林公式
$$ f(x)=f(0)+f'(0)x+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n) $$
带拉格朗日余项形式
在带拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式中，若取 $x _0=0$，即可得到带拉格朗日余项的麦克劳林公式
$$ f(x)=f(0)+f'(0)x+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} $$
其中 $\theta\in(\,0,1\,)$．
常用麦克劳林展开式
令 $n=2m$，则可得到以下常用的带拉格朗日余项的麦克劳林展开式：
- $\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{m-1}\dfrac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+R _{2m}(x)$；
- $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^m\dfrac{x^{2m}}{(2m)!}+R _{2m+1}(x)$；
- $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}+R _n(x)$；
- $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+R _n(x)$．
在求解极限中的应用
用带佩亚诺余项的麦克劳林公式可解决部分“洛必达复杂”的极限求解问题．
例题
计算 $\lim\limits _{x\to 0}\dfrac{\sin x-x\cos x}{\sin^3 x}$ 的值．
解：由于
$$ \begin{cases} \sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+o(x^3)\\\\ x\cos x=x-\dfrac{x^3}{2!}+o(x^3) \end{cases} $$
故
$$ \sin x-x\cos x=x-\dfrac{x^3}{3!}+o(x^3)-x+\dfrac{x^3}{2!}-o(x^3)=\dfrac{1}{3}x^3+o(x^3) $$
代入可得
$$ \text{原式}=\lim\limits _{x\to 0}\dfrac{\dfrac{1}{3}x^3+o(x^3)}{x^3}=\dfrac{1}{3} $$
函数的单调性判断
设函数 $f(x)$ 在 $[\,a,b\,]$ 上连续，在 $(\,a,b\,)$ 内可导．
- 若在 $(\,a,b\,)$ 内 $f'(x)\geqslant 0$，且等号仅在有限多个点处成立，则 $f(x)$ 在 $[\,a,b\,]$ 上单调增加；
- 若在 $(\,a,b\,)$ 内 $f'(x)\leqslant 0$，且等号仅在有限多个点处成立，则 $f(x)$ 在 $[\,a,b\,]$ 上单调减少．
通常使用驻点和导数不存在的点划分函数的单调区间．
曲线的凹凸性
凹凸性的定义
设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，若对 $I$ 上任意两点 $x _1,\,x _2$ 恒有
$$ f\left(\dfrac{x _1+x _2}{2}\right)<\dfrac{f(x _1)+f(x _2)}{2} $$
则称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图象是凹的；若恒有
$$ f\left(\dfrac{x _1+x _2}{2}\right)>\dfrac{f(x _1)+f(x _2)}{2} $$
则称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图象是凸的．
凹凸性可以用于证明不等式．
例题
证明 $\dfrac{\text{e}^a+\text{e}^b}{2}>\text{e}^\frac{a+b}{2}$，其中 $a\neq b$．
解：令 $f(x)=\text{e}^x$，则 $f''(x)=\text{e}^x>0$，故 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是凹函数，根据定义有
$$ \begin{aligned} &\forall\,x _1,\,x _2\in\mathbf{R},\,x _1\neq x _2\\\\ s.t.\qquad &\dfrac{\text{e}^{x _1}+\text{e}^{x _2}}{2}>\text{e}^\frac{x _1+x _2}{2} \end{aligned} $$
取 $x _1=a$ 与 $x _2=b$ 即可得证．
凹凸性的判断
设函数 $f(x)$ 在 $[\,a,b\,]$ 上连续，在 $(\,a,b\,)$ 内具有一阶导数和二阶导数．
- 若在 $(\,a,b\,)$ 内 $f''(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $[\,a,b\,]$ 上的图象是凹的；
- 若在 $(\,a,b\,)$ 内 $f''(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $[\,a,b\,]$ 上的图象是凸的．
批注
可通过口诀“正凹负凸”记住该结论．
拐点
若函数 $f(x)$ 在经过点 $(x _0,f(x _0))$ 时，曲线的凹凸性发生改变，则该点称为 $f(x)$ 的拐点．
注意事项
注意，与之前所认识的零点等一维点不同，拐点 $(x _0,f(x _0))$ 是一个二维点．
拐点用以划分函数的凹凸区间，分为二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点．
批注
在求出上述两类所有的点后，还需要检查符号，才能确定所得到的点 $(x _0,f(x _0))$ 是否为拐点：
- 当 $f''(x)$ 在 $x _0$ 左右两侧邻近的符号相反时，点 $(x _0,f(x _0))$ 是拐点；
- 当 $f''(x)$ 在 $x _0$ 左右两侧邻近的符号相同时，点 $(x _0,f(x _0))$ 不是拐点．
极值
设函数 $f(x)$ 在点 $x _0$ 处可导，且在 $x _0$ 处取得极值，则 $f'(x _0)=0$．
换而言之，可导的极值点是驻点．
注意事项
关于极值点与驻点的关系，需要注意以下两点：
- 驻点不一定是极值点，如在 $f(x)=x^3$ 中，$x=0$ 是该函数的驻点，但不是其极值点；
- 极值点不一定是驻点，如在 $f(x)=|\,x\,|$ 中，$x=0$ 是该函数的极值点，但不是其驻点．
与拐点类似，极值点也分为一阶导数为零的点和一阶导数不存在的点两类，且同样需要符号验证．
设函数 $f(x)$ 在点 $x _0$ 处具有二阶导数且 $f'(x _0)=0$，$f''(x _0)\neq 0$，则
- 当 $f''(x _0)<0$ 时，$f(x)$ 在 $x _0$ 处取得极大值；
- 当 $f''(x _0)>0$ 时，$f(x)$ 在 $x _0$ 处取得极小值．
批注
当 $f''(x _0)=0$ 时，无法判断 $f(x)$ 在 $x _0$ 处的极值情况，此时直接利用 $f'(x _0)$ 判断即可．
函数图象的绘制
首先计算给定函数的驻点、拐点和渐近线等，再使用上述定理判断各区间内相关性质即可．
微分方程
微分方程的相关概念
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
若函数 $y=f(x)$ 代入微分方程后能使得该方程称为恒等式，则此函数称为微分方程的解．
若微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则此类解称为微分方程的通解．
例题
给定微分方程 $y''=3$，易得 $y'=3x+C _1$，则此方程的通解为
$$ y=\dfrac{3}{2}x^2+C _1x+C2 $$
可分离变量的微分方程
若一个一阶微分方程能改写为
$$ g(y)\text{d}y=f(x)\text{d}x $$
的形式，即单从表面上看，方程一端只含有 $y$，而另一端只含有 $x$，则称原方程为可分离变量的微分方程．
解此类方程的方法是直接对两端进行积分，而后化简即可．
例题
求微分方程 $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=2xy$ 的通解．
解：将其改写为
$$ \dfrac{\text{d}y}{y}=2x\text{d}x $$
对两端积分可得
$$ \ln|\,y\,|=x^2+C _1 $$
整理有
$$ y=\pm\text{e}^{x^2+C _1}=\pm\text{e}^{C _1}\text{e}^{x^2} $$
由于 $\pm\text{e}^{C _1}$ 是任意的非零常数，且 $y\equiv 0$ 也为此方程的解，故通解为
$$ y=C\text{e}^{x^2} $$
齐次方程
若一阶微分方程能改写为
$$ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=\varphi\left(\dfrac{y}{x}\right) $$
的形式，则称原方程为齐次方程．
批注
不难看出，若一个微分方程是齐次方程，则其中 $x$ 与 $y$ 的次数应该是“对称”的，如 $x^2+y^2$ 或 $xy^4+x^4y$ 等．
解此类方程的步骤为：
- 令变量 $u=\dfrac{y}{x}$，得到 $y=ux$；
- 将方程左端改写为 $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=u+\dfrac{\text{d}u}{\text{d}x}\cdot x$；
- 将方程右端改写为 $\varphi\left(\dfrac{y}{x}\right)=\varphi(u)$；
- 解可分离变量的方程 $u+\dfrac{\text{d}u}{\text{d}x}\cdot x=\varphi(u)$．
例题
求微分方程 $y^2+x^2\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=xy\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ 的通解．
解：将其改写为
$$ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=\dfrac{y^2}{xy-x^2}=\dfrac{\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}{\dfrac{y}{x}-1} $$
令 $u=\dfrac{y}{x}$，整理方程左右两端有
$$ \left(1-\dfrac{1}{u}\right)\text{d}u=\dfrac{\text{d}x}{x} $$
对两端积分可得
$$ u-\ln|\,u\,|+C _1=\ln|\,x\,| $$
即
$$ \ln|\,ux\,|=u+C _1 $$
代入 $y=ux$，通解为
$$ y=C\text{e}^\frac{y}{x} $$
其中 $C=\pm\text{e}^{C _1}$．
一阶线性微分方程
形如
$$ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)y=Q(x) $$
的方程称为一阶线性微分方程，若 $Q(x)\equiv 0$，则称其为齐次的，否则称其为非齐次的．
解此类（非齐次）方程的步骤为：
- 写出对应的齐次线性方程，即 $$ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)y=0 $$
- 该其次线性方程是可分离变量的，解得 $$ y=C\text{e}^{-\int P(x)\text{d}x} $$
- 利用常数变易法求解：将上面的解中的常数 $C$ 换为关于 $x$ 的未知函数 $u(x)$，写出假设的解为 $$ y=u\text{e}^{-\int P(x)\text{d}x} $$
- 对两端积分有 $$ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=u'\text{e}^{-\int P(x)\text{d}x}-uP(x)\text{e}^{-\int P(x)\text{d}x} $$
- 将包含 $u$ 表达的 $y$ 与 $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ 代入原非齐次线性方程，解得 $$ \displaystyle u=\int Q(x)\text{e}^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x+C $$
- 将 $u$ 的表达式代入假设的解可得 $$ \displaystyle y=\text{e}^{-\int P(x)\text{d}x}\left(\int Q(x)\text{e}^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x+C\right) $$
提示
此处写出步骤只是为了方便理解，在实际解题中可直接利用最后的结论．
可降阶的高阶微分方程
此部分主要聚焦于微分方程的形式．
- 对于 $y''=f(x,y')$ 型的微分方程，令 $p=y'$，可得一阶微分方程 $$ p'=f(x,p) $$
- 对于 $y''=f(y,y')$ 型的微分方程，同样令 $p=y'$，有 $$ y''=\dfrac{\text{d}p}{\text{d}x}=\dfrac{\text{d}p}{\text{d}y}\cdot\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=p\cdot\dfrac{\text{d}p}{\text{d}y} $$ 此时方程化为一阶微分方程 $$ p\dfrac{\text{d}p}{\text{d}y}=f(y,p) $$
常系数齐次线性微分方程
设 $p,\,q$ 均为常数，则形如
$$ y''+py'+qy=0 $$
的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程．
解此类方程的步骤为：
- 写出特征方程 $$ r^2+pr+q=0 $$
- 求出该特征方程的两个根 $r _1,\,r _2$；
- 查阅下附的表格，直接写出方程的通解．
| 特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的两个根 $r _1,\,r _2$ | 微分方程 $y''+py'+qy=0$ 的通解 |
|---|---|
| 两个不相等的实根 $r _1,\,r _2$ | $y=C _1\text{e}^{r _1x}+C _2\text{e}^{r _2x}$ |
| 两个相等的实根 $r _1=r _2$ | $y=(C _1+C _2x)\text{e}^{r _1x}$ |
| 一对共轭复根 $r _{1,\,2}=\alpha\pm\beta i$ | $y=\text{e}^{\alpha x}(C _1\cos\beta x+C _2\sin\beta x)$ |
多元函数微分法及其应用
平面点集
设 $P _0(x _0,y _0)$ 是平面 $xOy$ 上的一个点，且 $\delta>0$，则满足 $|\,PP _0\,|<\delta$ 的点 $P(x,y)$ 的全体称为点 $P _0$ 的 $\delta$ 邻域，记为 $U(P _0,\delta)$．
任意一点 $P\in\mathbf{R}^2$ 与任意一个点集 $E\subset\mathbf{R}^2$ 之间关系的可能性有以下三种．
- 内点：若存在点 $P$ 的某个邻域 $U(P)$ 使得 $U(P)\subset E$，则称点 $P$ 为 $E$ 的内点．
- 外点：若存在点 $P$ 的某个邻域 $U(P)$ 使得 $U(P)\cap E=\varnothing$，则称点 $P$ 为 $E$ 的外点．
- 边界点：若点 $P$ 的任意一个邻域内既包含 $E$ 的内点，又包含 $E$ 的外点，则称点 $P$ 为 $E$ 的边界点．
点集 $E$ 的边界点的全体称为其边界，记为 $\partial E$．
注意事项
点集 $E$ 的边界点可能属于 $E$，如
$$ E=\{\,(x,y)\,|\,x^2+y^2\leqslant 1\,\} $$
也可能不属于 $E$，如
$$ E=\{\,(x,y)\,|\,x^2+y^2<1\,\} $$
若对于任意给定的 $\delta>0$，点 $P$ 的去心邻域 $\overset{\circ}{U}(P,\delta)$ 内总有点集 $E$ 中的点，则称 $P$ 为 $E$ 的聚点．
点集 $E$ 的聚点是不包括孤立点在内的内点与边界点的全体．
例题
在点集
$$ E=\{\,(x,y)\,|\,x^2+y^2\leqslant1\,\}\cup(4,4) $$
中，$(4,4)$ 是边界点，同时也是孤立点，但不是聚点．
下面给出一些重要的平面点集．
-
开集：若点集 $E$ 的点都是其内点，则称 $E$ 为开集．
-
闭集：若对于点集 $E$ 有 $\partial E\subset E$，则称 $E$ 为闭集．
-
连通集：若点集 $E$ 的任意两点都可用折线联结，且此折线上的点都属于 $E$，则称 $E$ 为连通集．
-
区域：连通的开集称为（开）区域．
-
闭区域：开区域与其边界所构成的点集称为闭区域．
-
有界集：设点 $O$ 为坐标系原点，若
$$ \exists\,r>0,\,E\subset U(O,r) $$
则称 $E$ 为有界集．
-
无界集：非有界集．
多元函数的极限
在多元函数中，$P\to P _0$ 表示点 $P$ 以任何方式趋于点 $P _0$．
二元函数的极限称为二重极限．
所谓二重极限存在，是指 $P(x,y)$ 以任何方式趋于 $P _0(x _0,y _0)$ 时，$f(x,y)$ 都无限趋近于 $A$．
批注
若能论证点 $P(x,y)$ 以不同方式趋于 $P _0(x _0,y _0)$ 时，$f(x,y)$ 的极限不存在，则可断定函数在该点的极限不存在．
多元函数的极限具有和一元函数相应者类似的运算法则．
例题
计算 $\lim\limits _{(x,y)\to(0,2)}\dfrac{\sin(xy)}{x}$ 的值．
解：函数 $f(x,y)=\dfrac{\sin(xy)}{x}$ 的定义域为 $D=\{\,(x,y)\,|\,x\neq 0,\,y\in\mathbf{R}\,\}$，且 $P _0(0,2)$ 为 $D$ 的聚点，则有
$$ \begin{aligned} \text{原式}&=\lim\limits _{(x,y)\to(0,2)}\left[\,\dfrac{\sin(xy)}{xy}\cdot y\,\right]\\\\ &=\lim\limits _{xy\to 0}\dfrac{\sin(xy)}{xy}\cdot\lim\limits _{y\to 2}y\\\\ &=2 \end{aligned} $$
连续性
设二元函数 $f(P)=f(x,y)$ 的定义域为 $D$，$P _0(x _0,y _0)$ 是 $D$ 的聚点，且 $P _0\in D$，若
$$ \lim\limits _{(x,y)\to(x _0,y _0)}f(x,y)=f(x _0,y _0) $$
则称 $f(x,y)$ 在 $P _0(x _0,y _0)$ 连续．
多元初等函数是指可用一个式子表示的多元函数．
一切多元初等函数在其定义区域（包含在定义域内的区域或闭区域）内是连续的．
在有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数必定在 $D$ 上有界，且一定能取得其最大值和最小值．
介值定理：在有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数一定能取得介于最大值和最小值之间的任何值．
偏导数
各偏导数在某点都存在不能保证函数在该点连续，即在多元函数中，“可导”不一定连续．
注意事项
设有二元函数 $z=f(x,y)$，偏导数 $\left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\,\right| _{x=x _0}$ 存在只能说明函数在其图象与平面 $x=x _0$ 的截痕曲线上连续．
形如
$$ \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\!\dfrac{\partial z}{\partial x}\!\right)=\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=f _{xy}'(x,y) $$
或
$$ \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\!\dfrac{\partial z}{\partial y}\!\right)=\dfrac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=f _{yx}'(x,y) $$
的偏导数称为混合偏导数．
若函数 $z=f(x,y)$ 的两个二阶混合偏导数 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$ 和 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}$ 在区域 $D$ 内连续，则在该区域内两者相等．
换而言之，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关．
全微分
在
$$ f(x+\Delta x,y)-f(x,y)\approx f _x'(x,y)\cdot\Delta x $$
与
$$ f(x,y+\Delta y)-f(x,y)\approx f _y'(x,y)\cdot\Delta y $$
中，两式左端分别称为二元函数 $f(x,y)$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏增量，而右端分别称为 $f(x,y)$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏微分．
与偏增量相对应，全增量 $\Delta z$ 的定义为
$$ \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $$
若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微分，则其在点 $(x,y)$ 的偏导数 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$ 必定存在，且全微分为
$$ \text{d}z=\dfrac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\dfrac{\partial z}{\partial y}\Delta y $$
但是，$z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的各偏导数存在不能保证全微分存在．
若函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x,y)$ 连续，则其在该点可微分．
利用全微分进行近似计算时，公式为
$$ f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+f _x'(x,y)\cdot\Delta x+f _y'(x,y)\cdot\Delta y $$
多元复合函数的求导法则
本节通过作图即可写出多元复合函数的导数，而无需记忆公式．
下面将条件“内层函数在某点处可导或具有偏导数，外层函数在相应点处具有连续偏导数”简称为“复合函数在该点处可导”．
-
若复合函数 $z=f(u,v)$ 在点 $t$ 处可导，其中 $u=\varphi(t)$，$v=\psi(t)$，则作图如下：
其中所有的分支均为右方向，某个变量向右仅有一个分支表示求导，否则表示求偏导．
由该图，可写出复合函数的导数为
$$ \dfrac{\text{d}z}{\text{d}t}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t} $$
-
若复合函数 $z=f(u,v)$ 在点 $(x,y)$ 处可导，其中 $u=\varphi(x,y)$，$v=\psi(x,y)$，则作图如下：
由该图，可写出复合函数的偏导数为
$$ \begin{cases} \dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial y} \end{cases} $$
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若复合函数 $z=f(u,v)$ 在点 $(x,y)$ 处可导，其中 $u=\varphi(x,y)$，$v=\psi(y)$，则作图如下：
由该图，可写出复合函数的偏导数为
$$ \begin{cases} \dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{\text{d} v}{\text{d} y} \end{cases} $$
-
若复合函数 $z=f(u,x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可导，其中 $u=\varphi(x,y)$，则作图如下：
若复合函数在换元后仍带有原自变量，则需要引入函数名 $f$．
由该图，可写出复合函数的偏导数为
$$ \begin{cases} \dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\text{d}x}{\text{d}x}\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{\text{d}y}{\text{d}y} \end{cases} $$
即
$$ \begin{cases} \dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial x}\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial y} \end{cases} $$
注意事项此处的 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 是不同的．- $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 是将 $z=f[\,\varphi(x,y),x,y\,]$ 中的 $y$ 视为常量而对 $x$ 的偏导数．
- $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 是将 $z=f(u,x,y)$ 中的 $u,\,y$ 视为常量而对 $x$ 的偏导数．
隐函数的求导公式
由满足一系列条件（在此不表）的方程 $F(x,y)=0$ 所确定的隐函数 $y=f(x)$ 的导数为
$$ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=-\dfrac{F _x'}{F _y'} $$
类似地，由满足一系列条件的方程 $F(x,y,z)=0$ 所确定的隐函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数分别为
$$ \begin{cases} \dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F _x'}{F _z'}\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{F _y'}{F _z'} \end{cases} $$
隐函数求导的要点为“先写负号，交叉放置”．
例题
设 $x^2+y^2+z^2=4z+1$，求 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ 的值．
解：设 $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-4z-1$，则 $F _x'=2x$，$F _z'=2z-4$，故
$$ \dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F _x'}{F _z'}=\dfrac{x}{2-z} $$
由此可得
$$ \begin{aligned} \dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}&=\dfrac{(2-z)-x\cdot(-1)\cdot\dfrac{\partial z}{\partial x}}{(2-z)^2}\\\\ &=\dfrac{(2-z)+x\cdot\dfrac{x}{2-z}}{(2-z)^2}\\\\ &=\dfrac{(2-z)^2+x^2}{(2-z)^3} \end{aligned} $$
多元函数微分学的应用
曲线的切线与法平面
此处的曲线指的是空间曲线．
设曲线 $\varGamma$ 的参数方程为
$$ \begin{cases} x=\varphi(t)\\\\ y=\psi(t)\\\\ z=\omega(t) \end{cases} \qquad (\alpha\leqslant t\leqslant\beta) $$
且点 $M(x _0,y _0,z _0)$ 对应的参数为 $t _0$，则 $\varGamma$ 在点 $M$ 处的切线方程为
$$ \dfrac{x-x _0}{\varphi'(t _0)}=\dfrac{y-y _0}{\psi'(t _0)}=\dfrac{z-z _0}{\omega'(t _0)} $$
而法平面方程为
$$ \varphi'(t _0)\cdot(x-x _0)+\psi'(t _0)\cdot(y-y _0)+\omega'(t _0)\cdot(z-z _0)=0 $$
曲面的切平面与法线
此部分主要聚焦于曲面方程的形式．
-
若曲面 $\varSigma$ 由方程 $$ F(x,y,z)=0 $$
给出，则其在点 $M(x _0,y _0,z _0)$ 的切平面方程为
$$ F _x'(x _0,y _0,z _0)\cdot(x-x _0)+F _y'(x _0,y _0,z _0)\cdot(y-y _0)+F _z'(x _0,y _0,z _0)\cdot(z-z _0)=0 $$
而法线方程为
$$ \dfrac{x-x _0}{F _x'(x _0,y _0,z _0)}=\dfrac{y-y _0}{F _y'(x _0,y _0,z _0)}=\dfrac{z-z _0}{F _z'(x _0,y _0,z _0)} $$
-
若曲面 $\varSigma$ 由函数 $$ z=f(x,y) $$
给出，则令 $F(x,y,z)=f(x,y)-z$，此时有
$$ \begin{cases} F _x'(x,y,z)=f _x'(x,y)\\\\ F _y'(x,y,z)=f _y'(x,y)\\\\ F _z'(x,y,z)=-1 \end{cases} $$
故其在点 $M(x _0,y _0,z _0)$ 的切平面方程为
$$ f _x'(x _0,y _0)\cdot(x-x _0)+f _y'(x _0,y _0)\cdot(y-y _0)-(z-z _0)=0 $$
而法线方程为
$$ \dfrac{x-x _0}{f _x'(x _0,y _0)}=\dfrac{y-y _0}{f _y'(x _0,y _0)}=\dfrac{z-z _0}{-1} $$
方向导数
在实际生活中，我们需要考虑函数沿任意方向的变化率问题．
设 $l$ 是一条以 $P _0(x _0,y _0)$ 为起点的射线，$\boldsymbol{e} _l=(\cos\alpha,\cos\beta)$ 为与 $l$ 同方向的单位向量，则 $l$ 的参数方程为
$$ \begin{cases} x=x _0+t\cos\alpha\\\\ y=y _0+t\cos\beta \end{cases} \qquad (t\geqslant 0) $$
设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P _0$ 的某个邻域 $U(P _0)$ 内有定义，$P(x _0+t\cos\alpha,y _0+t\cos\beta)$ 为 $l$ 上另一点，若
$$ \lim\limits _{t\to 0^+}\dfrac{|\,PP _0\,|}{t}=\lim\limits _{t\to 0^+}\dfrac{f(x _0+t\cos\alpha,y _0+t\cos\beta)-f(x _0,y _0)}{t} $$
存在，则称此极限为 $f(x,y)$ 在点 $P _0$ 沿方向 $l$ 的方向导数，记为 $\left.\dfrac{\partial f}{\partial l}\right| _{(x _0,y _0)}$．
显然，取 $\boldsymbol{e} _l=\boldsymbol{i}=(1,0)$ 时，有
$$ \left.\dfrac{\partial f}{\partial l}\right| _{(x _0,y _0)}=\lim\limits _{t\to 0^+}\dfrac{f(x _0+t,y _0)-f(x _0,y _0)}{t}=f _x'(x _0,y _0) $$
而取 $\boldsymbol{e} _l=\boldsymbol{j}=(0,1)$ 时，有
$$ \left.\dfrac{\partial f}{\partial l}\right| _{(x _0,y _0)}=\lim\limits _{t\to 0^+}\dfrac{f(x _0,y _0+t)-f(x _0,y _0)}{t}=f _y'(x _0,y _0) $$
注意事项
方向导数是单向的，即 $t\to 0^+$，而偏导数是双向的，如函数 $f(x,y)$ 在点 $(x _0,y _0)$ 处对 $x$ 的偏导数的定义为
$$ f _x'(x _0,y _0)=\lim\limits _{t\to 0}\dfrac{f(x _0+t,y _0)-f(x _0,y _0)}{t} $$
换而言之，有：
- $\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right| _{(x _0,y _0)}$ 存在时，沿 $l=\boldsymbol{i}$ 的方向导数 $\left.\dfrac{\partial f}{\partial l}\right| _{(x _0,y _0)}$ 存在；
- 沿 $l=\boldsymbol{i}$ 的方向导数 $\left.\dfrac{\partial f}{\partial l}\right| _{(x _0,y _0)}$ 存在时，$\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right| _{(x _0,y _0)}$ 不一定存在．
若函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 可微分，则其在该点沿任意一个方向 $l$ 的方向导数存在，且
$$ \left.\dfrac{\partial f}{\partial l}\right| _{(x _0,y _0)}=f _x'(x _0,y _0)\cdot\cos\alpha+f _y'(x _0,y _0)\cdot\cos\beta $$
其中 $\cos\alpha$ 和 $\cos\beta$ 是方向 $l$ 的方向余弦．
梯度
设函数 $f(x,y)$ 在平面区域 $D$ 具有连续一阶偏导数，则对于每个点 $P _0(x _0,y _0)\in D$，称向量
$$ f _x'(x _0,y _0)\boldsymbol{i}+f _y'(x _0,y _0)\boldsymbol{j} $$
为 $f(x,y)$ 在点 $P _0$ 处的梯度，记为 $\mathbf{grad}\,f(x _0,y _0)$ 或 $\nabla f(x _0,y _0)$，即
$$ \mathbf{grad}\,f(x _0,y _0)=\nabla f(x _0,y _0)=f _x'(x _0,y _0)\boldsymbol{i}+f _y'(x _0,y _0)\boldsymbol{j} $$
其中 $\nabla=\dfrac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\dfrac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}$ 称为 Nabla 算子，且有 $\nabla f=\dfrac{\partial f}{\partial x}\boldsymbol{i}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\boldsymbol{j}$．
若函数 $f(x,y)$ 在 $P _0(x _0,y _0)$ 处可微分，$\boldsymbol{e} _l=(\cos\alpha,\cos\beta)$ 为与 $l$ 同方向的单位向量，则有
$$ \begin{aligned} \left.\dfrac{\partial f}{\partial l}\right| _{(x _0,y _0)}&=f _x'(x _0,y _0)\cdot\cos\alpha+f _y'(x _0,y _0)\cdot\cos\beta\\\\ &=\nabla f(x _0,y _0)\cdot\boldsymbol{e} _l\\\\ &=|\,\nabla f(x _0,y _0)\,|\cos\theta \end{aligned} $$
其中 $\theta$ 为 $\nabla f(x _0,y _0)$ 与 $\boldsymbol{e} _l$ 的夹角．
由该结论可推出：
- 当 $\theta=0$，即 $\boldsymbol{e} _l$ 与 $\nabla f(x _0,y _0)$ 的方向相同时，$f(x,y)$ 的增加速度最快；
- 当 $\theta=\pi$，即 $\boldsymbol{e} _l$ 与 $\nabla f(x _0,y _0)$ 的方向相反时，$f(x,y)$ 的减少速度最快；
- 当 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$，即 $\boldsymbol{e} _l$ 与 $\nabla f(x _0,y _0)$ 的方向正交时，$f(x,y)$ 的变化率为零．
多元函数的极值
与一元函数类似，对函数 $z=f(x,y)$ 而言，使得 $f _x'(x_0,y_0)=0$ 与 $f _y'(x _0,y _0)=0$ 同时成立的点 $(x _0,y _0)$ 称为其驻点．
批注
在求解二元函数的驻点时，需要对方程组的解作笛卡尔积，即“两两匹配”．
具有偏导数的极值点是驻点，但驻点不一定是极值点．
设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x _0,y _0)$ 处的某邻域内连续且有一阶与二阶连续偏导数，$f _x'(x _0,y _0)=0$，$f _y'(x _0,y _0)=0$，令
$$ \begin{cases} f _{xx}'(x _0,y _0)=A\\\\ f _{xy}'(x _0,y _0)=B\\\\ f _{yy}'(x _0,y _0)=C \end{cases} $$
则 $f(x,y)$ 在点 $(x _0,y _0)$ 处的极值情况为：
| 条件 | 极值情况 |
|---|---|
| $AC-B^2>0$ | $A<0$ 时取得极大值，$A>0$ 时取得极小值 |
| $AC-B^2<0$ | 无极值 |
| $AC-B^2=0$ | 无法判断 |
例题
求函数 $f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x$ 的极值．
解：解方程组
$$ \begin{cases} f _x'(x,y)=3x^2+6x-9=0\\\\ f _y'(x,y)=-3y^2+6y=0 \end{cases} $$
解得 $f(x,y)$ 的驻点为
$$ (1,0),\,(1,2),\,(-3,0),\,(-3,2) $$
而 $f(x,y)$ 的二阶偏导数为
$$ \begin{cases} f _{xx}'(x,y)=6x+6\\\\ f _{xy}'(x,y)=0\\\\ f _{yy}'(x,y)=-6y+6 \end{cases} $$
结合极值判断条件可得 $f(x,y)$ 在点 $(1,0)$ 处有极小值 $-5$，在点 $(-3,2)$ 处有极大值 $31$．
多元函数的最值点分为驻点、变量区间端点和偏导数不存在的点三类．
拉格朗日乘数法
求函数 $z=f(x,y)$ 在附加条件 $\varphi(x,y)=0$ 下的可能极值点的步骤为：
- 引入拉格朗日函数 $$ L(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y) $$
- 解方程组 $$ \begin{cases} L _x'(x,y)=f _x'(x,y)+\varphi _x'(x,y)=0\\\\ L _y'(x,y)=f _y'(x,y)+\varphi _y'(x,y)=0\\\\ \varphi(x,y)=0 \end{cases} $$
- 解得的点 $(x,y)$ 即为满足题意的可能极值点．
若求函数
$$ u=f(x,y,z,t) $$
在多个附加条件 $\varphi(x,y,z,t)=0$ 与 $\psi(x,y,z,t)=0$ 下的可能极值点，则引入的拉格朗日函数为
$$ L(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)+\lambda\varphi(x,y,z,t)+\mu\psi(x,y,z,t) $$